可持久化Trie - AcWing - 256 - 最大异或和

可持久化Trie

原题链接:AcWing-256-最大异或和

题解:

可以用前缀数组O(1)解决区间异或的询问

\[A_i\oplus A_{i+1} \oplus A_{i+2} \oplus ... \oplus A_j = (A_1 \oplus A_2 \oplus ... \oplus A_j) \oplus (A_1 \oplus A_2 \oplus A_3 \oplus...\oplus A_{i-1}) \]

int arr[N]; // 原数组
int pre[N]; // 前缀异或数组
for(int i = 1; i <= n; i++){
    scanf("%d",&arr[i]);
}
pre[1] = arr[1];
for(int i = 2; i <= n; i++){
	pre[i] = pre[i-1] ^ arr[i];
}

对于题目的每一个Q询问,我们找到一个这样的p使得\(p \in [l,r]\),且\(A_p \oplus A_{p+1} \oplus ... \oplus A_N \oplus x\)最大

我们可以通过刚才得到的前缀数组来将问题简化成找到一个这样的p使得\(p \in [l,r]\),且pre[p-1] ^ pre[n] ^ x最大

而对于每一个独立的询问,pre[n] ^ x是固定不变的,不妨设y = pre[n] ^ x,因此我们最终的问题就是如何找到最优的p使得pre[p-1] ^ y 最大

我们从二进制的角度考虑这个问题. ^{**是按位异或,我们要想找到最大的pre[p-1]}y,肯定是基于贪心的思路,优先找高位异或为1的pre[p-1].不妨建立一颗01Trie来维护. 对于每一个给定的y,我们从01Trie**的树根和y的最高位开始,优先选择高位异或为1的结点.最终遍历到Trie的树根就可以得到最优答案.(这个贪心如果不理解,可以先做AcWing - 143 - 最大异或对)

接下来的问题是,如何使得p从[l,r]区间中进行选择?不妨由浅入深分析这个问题:

• 假设只询问\(p\in [1,n]\),那么只需要最基本的Trie就可以维护了.
• 假设询问\(p\in[1,r] , r \leqslant n\),那么说明我们需要维护历史版本的Trie,这一点可以用可持久化Trie实现.
• 现在要询问\(p \in [l,r],\)也就是说我们需要在历史版本为r的基础上,筛除版本在[1,l-1]的数.假设我们取出版本为r的Trie如下图所示.

假设我们要求\(p \in [5,12]\),那么对于每一个结点,至少出现一次5以上的版本我才能够访问这个结点. 这个问题等价于: 某个结点的最大历史版本号大于或等于5才能访问这个结点.因此,我们不妨对于每一个结点记录其最大历史版本号,就能够解决左端点的限制问题.

整理一下思路,我们的解题步骤为:

• 对于单次加点操作: 更新前缀异或数组 (复杂度为O(1)) 然后更新可持久化Trie,添加新版本(常数复杂度,32左右)
• 对于单次询问操作: 从r版本Trie树根开始,依次向下层深入,比较每个结点的最大版本号与l的大小,贪心.(常数复杂度,32左右)

因此整个算法的复杂度为O(n)级别,大概执行3e5 * 32次

​

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <vector>
using namespace std;
#define LENGTH 23
#define MAX(a,b) (a>b?a:b)
const int N = 6e5+10;
int len;           // 当前版本号
int idx;           // 索引分配器
int pre[N];   // 记录各个版本的前缀异或数组
int roots[N]; // 记录各个版本的树根
int maxTime[LENGTH*N];
int nex[LENGTH*N][2];

void insert(int x){     // 向字典树中加入一个值 
    pre[1+len] = pre[len] ^ x; 
    ++len;

    ++idx;
    roots[len] = idx;
    maxTime[idx] = len;

    int rt = idx;
    int pos = 1 << LENGTH;

    if(len == 1){ // 如果当前版本号为1
        for(int i = LENGTH; i >= 0; i--){
            ++idx;
            if(pre[len] & pos){
                nex[rt][1] = idx;
                rt = idx;
            }else{
                nex[rt][0] = idx;
                rt = idx;
            }
            pos >>= 1;
            maxTime[rt] = 1;
        }
    }else{
        int flag = 1;
        int oldRoot = roots[len-1];
        for(int i = LENGTH; i >= 0; i--){
            ++idx;
            if(pre[len] & pos){
                nex[rt][1] = idx;
                if(flag){
                    nex[rt][0] = nex[oldRoot][0];
                    oldRoot = nex[oldRoot][1];
                    if(!oldRoot){
                        flag = 0;
                    }
                }
                rt = idx;
            }else{
                nex[rt][0] = idx;
                if(flag){
                    nex[rt][1] = nex[oldRoot][1];
                    oldRoot = nex[oldRoot][0];
                    if(oldRoot == -1){
                        flag = 0;
                    }
                }
                rt = idx;
            }
            pos >>= 1;
            maxTime[rt] = len;
        }
    }
}
int query(int l,int r,int x){
    x ^= pre[len];
    int pos = 1 << LENGTH;
    int v = 0;
    int rt = roots[r];
    for(int i = LENGTH; i >= 0; i--){
        if(x & pos){
            if(nex[rt][0] && maxTime[nex[rt][0]]>= l){
                v <<= 1;
                rt = nex[rt][0];
            }else{
                v <<= 1;
                v |= 1;
                rt = nex[rt][1];
            }
        }else{
            if(nex[rt][1] && maxTime[nex[rt][1]] >= l){
                v <<= 1;
                v |= 1;
                rt = nex[rt][1];
            }else{
                v <<= 1;
                rt = nex[rt][0];
            }
        }
        pos >>= 1;
    }

    return x ^ v;
}
int main(){
    int n,m,l,r,temp;
    char cmd[5];
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        scanf("%d",&temp);
        insert(temp);
    }

    for(int i = 1; i <= m; i++){
        scanf("%s",cmd);
        if(cmd[0]=='A'){
            scanf("%d",&temp);
            insert(temp);
        }else{
            scanf("%d%d%d",&l,&r,&temp);
            l--;
            r--;
            if(r == 0){
                printf("%d\n",pre[len]^temp);
            }else{
                printf("%d\n",query(l,r,temp));
            }
        }
    }
    system("pause");
    return 0;
}