洛谷 P1570 - KC喝咖啡 - 二分答案

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二分答案简介

二分答案是对于二分查找思想的一种应用。通过对答案出现的区间进行二分查找来判定可能的答案。二分答案一般用在以下情形的题目：

• 直接求解答案十分复杂，或需要通过指数级别的枚举来完成。
• 当以答案值ans作为函数自变量时，存在这样的一个单调函数可以作为区间折半的判定函数。

一般而言，使用二分答案解题通常需要以下几步:

1. 确定答案出现的区间范围
2. 找到单调函数（最关键步骤）
3. 二分答案，通过单调缩小答案区间。

本题题解

依题意，需要找到最大的答案\(x\),使得\(x = \frac{\sum v_i}{\sum c_i}\)。用搜索，复杂度为\(2^n\)，01背包也行不通，本题的\(x\)表达式不满足dp的无后效性。而题目给出 \(x \in [0,1000]\)，考虑二分答案。注意本题\(x\)是小数形式，因此本题的大小判定需要针对浮点数重写比较函数或另外定义EPS。

如何二分呢？注意到\(x = \frac{\sum v_i}{\sum c_i}\)，不妨设\(y(x) = \sum v_i - x * \sum c_i = \sum (v_i - x*c_i)\) 。当进行二分的时候，正在判断\(mid\)的值是否为最大的\(x\),故需要检验 \(y(mid)_{max}\)与0的大小关系

• \(y(mid)_{max} >= 0\)

  这说明存在这样的一组方案使得\(x = \frac{\sum v_i}{\sum c_i} >= mid\)。因此有\(x \in [mid,r]\)

• \(y(mid)_{max} < 0\)

  这说明不存在这样的一组方案使得\(x = \frac{\sum v_i}{\sum c_i} >= mid\)，即所有的\(\frac{\sum v_i}{\sum c_i}\)都小于\(mid\)。因此有\(x \in [l,mid]\)

  另外，\(y(mid)_{max}\)很好求，只需要分别计算\(v_i - mid * c_i\)后排序去后m个即可。

答案

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <vector>

#define MaxN 200+5
#define EPS 1e-6
using namespace std;
int v[MaxN]; // 美味度
int c[MaxN]; // 时间

bool bigthan(double a,double b){
    return a >= b + EPS;
}

bool equal(double a,double b){
    return fabs(a-b) < EPS;
}
double bs(int n,int m){
    double l = 0,r = 1000;
    while(bigthan(r,l)){
        double mid = (r + l) / 2;
        vector<double> vec;
        for(int i = 1; i <= n; i++){
            vec.push_back(v[i] - c[i]*mid);
        }
        sort(vec.begin(),vec.end());
        double sum = 0;
        for(int i = n-1; i >= n-m; i--){
            sum += vec[i];
        }
        if(bigthan(sum,0)){
            l = mid;
        }else{
            r = mid;
        }
    }
    return r;
}
int main(){
    int n,m;
    scanf("%d %d",&n,&m);
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        scanf("%d",&v[i]);
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        scanf("%d",&c[i]);
    }
    
    printf("%.3f",bs(n,m));
    return 0;
}