POJ - 数论（线性同余方程） - 青蛙的旅行

 

https://vjudge.net/contest/353158#problem/A

解线性同余方程 :   ax + by = c 的一般步骤：

1.   求出 m = gcd(a,b)

2.   若 c % m != 0   ->  方程组无解

3.   若 c % m == 0  ->   将方程 ax + by = c 等式两边同除以 m ,   得到  a' x + b' y = c'

      接下来,先解 a'x + b'y = 1 : 利用拓展欧几里得可解,  得到 x0,y0。

      即满足 :  a' * x0  + b' * y0 = 1

      然后将方程两边同乘 c' :  a'  * (c'x0)  + b' * (c'y0) = c'

      所以，方程 a'x + b'y = c' 的一组特解为 ：  x1 = c'x0,  y1 = c'y0

      由于 ax + by = c  ->  a'x + b'y = c'  是同解变换， 故 x1,y1也是原方程的一组特解.

      最后， 对于任意实数 t,  还可以得到  x1 + b't ,  y1 - a't 也是方程的特解 （不妨代入检验 ， t 消掉了） 

两个函数的写法：

#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll gcd(ll a,ll b){
    if(b == 0)return a;
    else return gcd(b,a%b);
}

void exgcd(ll a,ll b,ll& x,ll& y){
    if(b == 0){
        x = 1;  y = 0;
    }else{
        exgcd(b,a%b,y,x);
        y -= x*(a/b);
    }
}