分块

首先我们要了解一个问题：为什么要用分块
我们拿一道题目举例：

例题

给定一个长度为 \(N\) 的数列 \(A\)，以及 \(M\) 条指令，每条指令可能是以下两种之一：

1. C l r d，表示把 \(A[l],A[l+1],…,A[r]\) 都加上 \(d\)。
2. Q l r，表示询问数列中第 \(l \sim r\) 个数的和。

对于每个询问，输出一个整数表示答案。

输入格式

第一行两个整数 \(N,M\)。

第二行 \(N\) 个整数 \(A[i]\)。

接下来 \(M\) 行表示 \(M\) 条指令，每条指令的格式如题目描述所示。

输出格式

对于每个询问，输出一个整数表示答案。

每个答案占一行。

数据范围

\(1 \le N,M \le 10^5\),
\(|d| \le 10000\),
\(|A[i]| \le 10^9\)

输入样例：

10 5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Q 4 4
Q 1 10
Q 2 4
C 3 6 3
Q 2 4

输出样例：

4
55
9
15

大家可能会用线段树或树状数组解决这题，但是它们的码量和思路……
段错误树写一大堆递归（还要用懒标记），树状数组思路难想，理解很难。
然后就是调代码（都是血与泪的教训）
分块本质上就是一个优化的暴力算法，它的思路通俗易懂，虽然时间复杂度不及那些高级数据结构，但仔细想想，线段树和树状数组处理每一步的时的效率为\(\log n\)，分块的效率则为\(\sqrt n\)，显然\(\sqrt n\)比\(\log n\)要处理的次数多上不少，但也是属于能过的状态，况且线段树因为巨大的常数有时还不如分块。

实测：

分块的思路

我们可以将一个序列分成\(\sqrt n\)块，如下图（当然最后一块不够的话就能分多少就分多少，不影响最终答案）

这里需要运用一点懒标记的思想，我们需要维护两个东西：
1、add：本段的所有数都要加上add
2、sum：本段的真实和是多少（算上add）
第一个操作：修改

修改的时候需要分两种情况：
1、完整段（蓝色部分）：
\(add = add + d\)
\(sum = sum + d \times length\)（length为段的长度）
2、段内（红色部分）：
直接暴力，枚举所有数
\(w_i = w_i + d\)
\(sum = sum + d\)
第二个操作：查询
同上，查询时也需要分两种情况：
1、完整段（蓝色部分）：
直接累加sum即可
2、段内（红色部分）：
直接暴力，枚举所有数，求和

其实如果在考试中出现这种有关序列的问题，如果实在想不出来正解，那就打个分块，一般能拿到70~80分

代码

#include <cmath>
#include <iostream>

using namespace std;

typedef long long ll;

const int N = 100010, M = 350;

int n, m, len;
ll add[M], sum[M];
int w[N];

int get(int i) { //	第i的位置映射到了哪一块
    return i / len;
}

void change(int l, int r, int d) {
    if (get(l) == get(r)) { //	段内，直接暴力
        for (int i = l; i <= r; ++i)
            w[i] += d, sum[get(i)] += d;
    } else {
        int i = l, j = r;
        while (get(i) == get(l))
            w[i] += d, sum[get(i)] += d, ++i;
        while (get(j) == get(r))
            w[j] += d, sum[get(j)] += d, --j;
        for (int k = get(i); k <= get(j); ++k) {
            sum[k] += len * d;
            /*
            这里有童鞋可能会问：如果最后一段有可能不足len长呢？
            我们可以先将它补全，不影响最后的答案，因为题目是不会询问到数列以外的部分的
            */
            add[k] += d;
        }
    }
}

ll query(int l, int r) {
    ll res = 0;
    if (get(l) == get(r)) { //	段内，直接暴力
        for (int i = l; i <= r; ++i)
            res += w[i] + add[get(i)];
    } else {
        int i = l, j = r;
        while (get(i) == get(l))
            res += w[i] + add[get(i)], ++i;
        while (get(j) == get(r))
            res += w[j] + add[get(j)], --j;
        for (int k = get(i); k <= get(j); ++k)
            res += sum[k];
    }

    return res;
}

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    len = sqrt(n);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        scanf("%d", &w[i]);
        sum[get(i)] += w[i];
    }

    char op[2];
    int l, r, d;
    while (m--) {
        scanf("%s%d%d", op, &l, &r);
        if (*op == 'C') {
            scanf("%d", &d);
            change(l, r, d);
        } else
            printf("%lld\n", query(l, r));
    }

    return 0;
}