01背包问题

题目

题目描述

有 $N$ 件物品和一个容量是 $V$ 的背包。每件物品只能使用一次。

第 $i$ 件物品的体积是 $v_i$，价值是 $w_i$。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，$N，V$，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 $N$ 行，每行两个整数 $v\_i,w\_i$，用空格隔开，分别表示第 $i$ 件物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

$0<N,V\le 1000$
$0<v_i,w_i\le 1000$

输入样例

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

输出样例：

8

思路

我们用动态规划解决问题时需要经过如下几个步骤：

1. 确定动态规划的状态表示，即 $dp$ 数组所代表的含义。

2. 根据第1步确定的状态表示来推想动态规划转移方程。

3. 分析时间复杂度，如果复杂度不在我们允许的范围之内，尝试优化动态规划转移复杂度或重新定义状态表示。

对于这道01背包问题，我们执行以下步骤：

1. $dp[i][j]$表示在前 $i$ 件物品里选出若干件，且物品体积和不超过 $j$ 能取到物品的最大价值。若我们可以求解出 $dp$ 数组，则 $dp[N][V]$ 就是我们要求的答案了。
2. 考虑如何求得 $dp[i][j]$。根据我们定义的状态，$dp[i][j]$ 表示在前 $i$ 件物品中选取若干件体积和不超过 $j$ 的最大价值，因此 $dp[i][j]$ 与 $dp[i-1][]$ 的差别只在于第 $i$ 件物品在 $dp[i-1][]$ 没被考虑，所以我们可以通过 $dp[i-1][]$ 推出 $dp[i][j]$。
   接下来分别考虑第 $i$ 件物品选或不选。
   如果我们选择第 $i$ 件物品，那么从前 $i-1$ 种物品中选出的体积就不能超过 $j-v_i$ ，所能得到的最大价值为 $dp[i-1][j-v_i]+w[i]$；
   若不选择第 $i$ 件物品，则延续之前的最大价值，最大价值为 $dp[i-1[[j]$。
   取这两种情况的最大值；因此，我们的状态转移方程为：
   $dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-v_i]+w_i)$
   注意：我们需要保证目前枚举到的 $j$ 是大于等于当前物品体积的，否则说明现在的状态背包根本就装不下这个物品，只能延续之前的最大价值。
3. 计算时间复杂度：我们不难发现，求解单个状态的复杂度仅为 $O(1)$；所以总时间复杂度则为状态数$O(NV)$

代码

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 1010, M = 1010;
int n, V;
int v[N], w[N];
int dp[N][M];
int main() {
	cin >> n >> V;
	for (int i = 1; i <= n; ++ i ) cin >> v[i] >> w[i];
	for (int i = 1; i <= n; ++ i ) 
		for (int j = 0; j <= V; ++ j ) 
			if (j >= v[i]) dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
			else dp[i][j] = dp[i - 1][j];
	cout << dp[n][V] << '\n';
	return 0;
}