并查集

例题

一共有 \(n\) 个数，编号是 \(1 \sim n\)，最开始每个数各自在一个集合中。

现在要进行 \(m\) 个操作，操作共有两种：

1. M a b，将编号为 \(a\) 和 \(b\) 的两个数所在的集合合并，如果两个数已经在同一个集合中，则忽略这个操作；
2. Q a b，询问编号为 \(a\) 和 \(b\) 的两个数是否在同一个集合中；

输入格式

第一行输入整数 \(n\) 和 \(m\)。

接下来 \(m\) 行，每行包含一个操作指令，指令为 M a b 或 Q a b 中的一种。

输出格式

对于每个询问指令 Q a b，都要输出一个结果，如果 \(a\) 和 \(b\) 在同一集合内，则输出 Yes，否则输出 No。

每个结果占一行。

数据范围

\(1 \le n,m \le 10^5\)

输入样例：

4 5
M 1 2
M 3 4
Q 1 2
Q 1 3
Q 3 4

输出样例：

No
Yes

什么是并查集

并查集常用于快速计算森林中有多少棵树。
并指合并操作，查指递归追查祖先，集指处理对象是集合。

如何实现并查集

初始化并查集

用一个一维数组 \(p\) 模拟并查集。开始时每个集合都是以自己为祖先
即：

for (int i = 1; i <= n; ++i)
    p[i] = i; // n为结点的个数（即数的个数）

合并操作

我们需要先实现一个函数：查找当前节点的祖先节点，在寻找祖先节点的过程中，使用类似记忆化搜索的方法同步更新父节点，这就是一种叫做路径压缩优化的技巧，可以有效减少追查深度。
代码：

int find(int x) { // 查找x的祖先节点（路径压缩）
    if (p[x] != x)
        p[x] = find(p[x]); // 祖先节点的父节点不是自己时更新父节点
    return p[x];
}

合并时，将两个集合的祖宗节点换掉就可以了

p[find(x)] = find(y);

查询操作

这个直接判断两个节点的祖宗节点是不是同一个节点就可以了，代码：

if (find(x) == find(y))
    puts("Yes");
else
    puts("No");

例题实现代码

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 100010;
int n, m;
int p[N];
int find(int x) {
    if (p[x] != x)
        p[x] = find(p[x]);
    return p[x];
}
int main() {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        p[i] = i;
    while (m--) {
        string op;
        int x, y;
        cin >> op >> x >> y;
        x = find(x), y = find(y);
        if (op == "M")
            p[x] = y;
        else {
            if (x == y)
                puts("Yes");
            else
                puts("No");
        }
    }
    return 0;
}