bzoj4869 [Shoi2017]相逢是问候

可以发现， $$\displaystyle c^{c{c^\cdots}}$$ 从下到上对应的模数是 \(p,\varphi(p),\varphi(\varphi(p)),\varphi(\varphi(\varphi(p))),\ldots ,1,1\)。（为什么有两个 \(1\)？一会儿再说）

因此当一个数被修改了很多次以后它就不会再变了，维护一下一个数被修改了几次。

再来说为什么两个 \(1\)。以 \(n=1,p=3,a_1=0,c=2\) 为例：

\[2^{2^0} \bmod 3=2,2^{2^{2^0}} \bmod 3=1 \]

这是由于扩展欧拉定理得到的。也就是说，

\[2^{2^{0 \bmod 1} \bmod 2} \bmod 3=2, \]

\[2^{2^{2^{0 \bmod 1}\bmod 1 + 1}\bmod 2}\bmod 3=1. \]

这就造成了在 \(\bmod 1\) 时的不同。如果只有一个 \(1\)，会造成上下等价。其实，这是一组非常特殊的数据。

懒得卡常了，以下代码仅能 A bzoj。

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
int n, m, p, c, phi[105], cnt, a[50005], opt, uu, vv;
bool isy;
struct SGT{
	int sum[200005], tag[200005];
	void build(int o, int l, int r){
		if(l==r)	sum[o] = a[l];
		else{
			int mid=(l+r)>>1;
			int lson=o<<1;
			int rson=lson|1;
			if(l<=mid)	build(lson, l, mid);
			if(mid<r)	build(rson, mid+1, r);
			sum[o] = (sum[lson] + sum[rson]) % p;
		}
	}
	int ksm(int a, int b, int p){
		int re=1;
		while(b){
			if(b&1){
				if((ll)re*a>=p)	isy = true;
				re = ((ll)re * a) % p; 
			}
			if(b!=1 && (ll)a*a>=p)	isy = true;
			a = ((ll)a * a) % p;
			b >>= 1;
		}
		return re;
	}
	int changeOneEle(int x, int hmn){
		int tmp=x;
		if(tmp>phi[hmn])	tmp = tmp%phi[hmn] + phi[hmn];
		for(int i=hmn-1; i>=0; i--){
			isy = false;
			tmp = ksm(c, tmp, phi[i]);
			if(isy)	tmp += phi[i];
		}
		return tmp%p;
	}
	void update(int o, int l, int r, int x, int y){
		if(tag[o]>=cnt-1)	return ;
		if(l==r)
			sum[o] = changeOneEle(a[l], ++tag[o]);
		else{
			int mid=(l+r)>>1;
			int lson=o<<1;
			int rson=lson|1;
			if(x<=mid)	update(lson, l, mid, x, y);
			if(mid<y)	update(rson, mid+1, r, x, y);	
			sum[o] = (sum[lson] + sum[rson]) % p;
			tag[o] = min(tag[lson], tag[rson]);
		}
	}
	int query(int o, int l, int r, int x, int y){
		if(l>=x && r<=y)	return sum[o];
		else{
			int mid=(l+r)>>1;
			int lson=o<<1;
			int rson=lson|1;
			int re=0;
			if(x<=mid)	re = (re + query(lson, l, mid, x, y)) % p;
			if(mid<y)	re = (re + query(rson, mid+1, r, x, y)) % p;
			return re;
		}
	}
}sgt;
int getPhi(int x){
	int re=x;
	for(int i=2; i*i<=x; i++)
		if(x%i==0){
			re = re / i * (i - 1);
			while(x%i==0)	x /= i;
		}
	if(x>1)	re = re / x * (x - 1);
	return re;
}
void prePhi(){
	phi[cnt++] = p;
	while(phi[cnt-1]!=1){
		phi[cnt] = getPhi(phi[cnt-1]);
		cnt++;
	}
	phi[cnt++] = 1;
}
int main(){
	cin>>n>>m>>p>>c;
	for(int i=1; i<=n; i++)
		scanf("%d", &a[i]);
	sgt.build(1, 1, n);
	prePhi();
	while(m--){
		scanf("%d %d %d", &opt, &uu, &vv);
		if(opt==0)	sgt.update(1, 1, n, uu, vv);
		else	printf("%d\n", sgt.query(1, 1, n, uu, vv));
	}
	return 0;
}

我们发现快速幂挺费时间的，那就把它搞掉。参考

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
int n, m, p, c, phi[105], cnt, a[50005], opt, uu, vv, ccc[75][10005], ttt[75][10005];
bool isy, fcc[75][10005], ftt[75][10005];
struct SGT{
	int sum[200005], tag[200005];
	void build(int o, int l, int r){
		if(l==r)	sum[o] = a[l];
		else{
			int mid=(l+r)>>1;
			int lson=o<<1;
			int rson=lson|1;
			if(l<=mid)	build(lson, l, mid);
			if(mid<r)	build(rson, mid+1, r);
			sum[o] = (sum[lson] + sum[rson]) % p;
		}
	}
	int ksm(int b, int x){
		ll tmp=(ll)ttt[x][b/10000]*ccc[x][b%10000];
		if(tmp>=phi[x])tmp = tmp % phi[x] + phi[x];
		return tmp;
	}
	int changeOneEle(int x, int hmn){
		int tmp=x;
		if(tmp>phi[hmn])	tmp = tmp%phi[hmn] + phi[hmn];
		for(int i=hmn-1; i>=0; i--){
			isy = false;
			tmp = ksm(tmp, i);
		}

		return tmp%p;
	}
	void update(int o, int l, int r, int x, int y){
		if(tag[o]>=cnt-1)	return ;
		if(l==r)
			sum[o] = changeOneEle(a[l], ++tag[o]);
		else{
			int mid=(l+r)>>1;
			int lson=o<<1;
			int rson=lson|1;
			if(x<=mid)	update(lson, l, mid, x, y);
			if(mid<y)	update(rson, mid+1, r, x, y);	
			sum[o] = (sum[lson] + sum[rson]) % p;
			tag[o] = min(tag[lson], tag[rson]);
		}
	}
	int query(int o, int l, int r, int x, int y){
		if(l>=x && r<=y)	return sum[o];
		else{
			int mid=(l+r)>>1;
			int lson=o<<1;
			int rson=lson|1;
			int re=0;
			if(x<=mid)	re = (re + query(lson, l, mid, x, y)) % p;
			if(mid<y)	re = (re + query(rson, mid+1, r, x, y)) % p;
			return re;
		}
	}
}sgt;
int getPhi(int x){
	int re=x;
	for(int i=2; i*i<=x; i++)
		if(x%i==0){
			re = re / i * (i - 1);
			while(x%i==0)	x /= i;
		}
	if(x>1)	re = re / x * (x - 1);
	return re;
}
void prePhi(){
	phi[cnt++] = p;
	while(phi[cnt-1]!=1){
		phi[cnt] = getPhi(phi[cnt-1]);
		cnt++;
	}
	phi[cnt++] = 1;
}
void preKsm(int x){
	ccc[x][0] = 1>=phi[x]?1%phi[x]+phi[x]:1;
	for(int i=1; i<=10000; i++){
		ccc[x][i] = ((ll)ccc[x][i-1] * c)>=phi[x]?((ll)ccc[x][i-1] * c)%phi[x]+phi[x]:((ll)ccc[x][i-1] * c);
		
	}
	ttt[x][0] = 1>=phi[x]?1%phi[x]+phi[x]:1;
	int tmp=ccc[x][10000]>=phi[x]?ccc[x][10000]%phi[x]+phi[x]:ccc[x][10000];
	for(int i=1; i<=10000; i++)
		ttt[x][i] = ((ll)ttt[x][i-1] * tmp)>=phi[x]?((ll)ttt[x][i-1] * tmp)%phi[x]+phi[x]:((ll)ttt[x][i-1] * tmp);
}
int main(){
	cin>>n>>m>>p>>c;
	for(int i=1; i<=n; i++)
		scanf("%d", &a[i]);
	sgt.build(1, 1, n);
	prePhi();
	for(int i=0; i<cnt; i++)
		preKsm(i);
	while(m--){
		scanf("%d %d %d", &opt, &uu, &vv);
		if(opt==0)	sgt.update(1, 1, n, uu, vv);
		else	printf("%d\n", sgt.query(1, 1, n, uu, vv));
	}
	return 0;
}