lfyzoj103 割海成路之日
问题描述
现在，摆在早苗面前的是一道简单题。只要解决了这道简单题，早苗就可以发动她现人神的能力了：
输出
输入格式
第一行是一个整数 \(T\)，代表有 \(T\) 组数据。
下来 \(T\) 行，一行一个整数 \(n\)。
输出格式
\(T\) 行，一行一个整数，是你的答案。
样例一
input
2
3
5
output
0
1
数据范围与约定
对于 \(30\%\) 的数据，\(T \leq 10\)，\(n \leq 100\)。
对于 \(50\%\) 的数据，\(T \leq 100000\)，\(n \leq 100000\)。
对于另外 \(30\%\) 的数据，\(T \leq 2\)，\(n \leq 10^{12}-1\)。
对于所有的数据，\(1 \leq T \leq 1145140\)，\(1 \leq n \leq 10^{18}-1\)。
时间限制： \(1\mathrm{s}\)
内存限制： \(256\mathrm{MB}\)
题解
本文整理自flyinghearts的博客。
记 \(f(x,y)\) 为从 \(x\) 一路异或到 \(y\) 的值。\(\mathrm{xor}\) 异或，\(\mathrm{or}\) 是或。
对于 \(f(2^k,2^{k+1}-1)\) 这 \(2^k\) 个数，它们的最高位显然是第 \(k\) 位。最高位的 \(1\) 的个数为 \(2^k\)。
\(k \geq 1\) 时， \(2^k\) 为偶数，\(\mathrm{xor}\) 下来成了 \(0\)。将这些数的最高位抹去，\(f\) 的值不变，则 \(f(2^k,2^{k+1}-1)=f(2^k-2^k,2^{k+1}-1-2^k)=f(0,2^k-1)\)。
则 \(f(0,2^{k+1}-1) = f(0,2^k-1)\ \mathrm{xor}\ f(2^k,2^{k+1}-1)=0\) 当 \(k \geq 1\) 时。
即 \(f(0,2^k-1)=0\) 当 \(k \geq 2\) 时。
对于 \(n \geq 4\)，设其最高位 \(1\) 在第 \(k\) 位，则 \(k \geq 2\)。
\(f(0,n)=f(0,2^k-1)\ \mathrm{xor}\ f(2^k,n)=f(2^k,n)\)
对于 \(2^k \sim n\) 这 \(n-2^k+1\) 个数，最高位有 \(m=n-2^k+1\) 个 \(1\)。
\(n\) 与 \(n-2^k\) 同奇偶。
- 当 \(n\) 为奇数时
\(m\) 是偶数，则 \(f(2^k,n)=f(0,n-2^k)\)。
递降这个公式，也即相当于不断剥去 \(n\) 最高位的 \(1\)，得到 \(f(0,n)=f(0,n \bmod 4)\)。
\(n \equiv 1 \pmod 4\) 时，\(f(1,n)=f(0,n)=f(0,1)=1\)。
\(n \equiv 3 \pmod 4\) 时，\(f(1,n)=f(0,n)=f(0,3)=0\)。
- 当 \(n\) 为偶数时
\(m\) 是奇数，则 \(f(2^k)=f(n-2^k)\ \mathrm{or}\ 2^k\)。
递降这个公式，得 \(f(0,n)=\eta\ \mathrm{or}\ f(0,n \bmod 4)\)。
其中 \(\eta\) 是 \(n\) 将第 \(0,1\) 位置 \(0\) 后的数。
\(n \equiv 0 \pmod 4\) 时，\(f(1,n)=f(0,n)=n\)。
\(n \equiv 2 \pmod 4\) 时，\(f(1,n)=f(0,n)=n+1\)。
综上所述
因此我们得到了 \(\mathrm{O}(1)\) 算法
