怎样理解又乘又加的线段树懒标记

大凡两个标记，无非是先乘再加，与先加再乘的区别罢了。

先加再乘

我们以 \(val\) 来表示这个结点原始的值，\(add\) 和 \(mul\) 顾名思义是两个标记。这样，这个结点的值就被更新成了 \((val+add) \times mul\)。（其实 \(add\) 还要跟区间长度搞一搞，这里就省略了）。我们就知道，这个结点经历了加 \(add\) 和乘 \(mul\) 之后的值是 \((val+add) \times mul\)。

现在，从他的父亲那里传来一组标记 \((\_add,\_mul)\)。本着先加后乘的原则，这个结点的值变成了 \(((val+add) \times mul + \_add) \times \_mul\) 也就是 \((val + add + \_add / mul) \times mul \times \_mul\)，这就相当于原始是 \(val\) 的值加上了一组标记 \((add + \_add / mul , mul \times \_mul)\)。出现了小数，这样不好。

先乘再加

有了上面的分析经验我们可以轻易的推算出 \(val\) 打上\((mul,add)\) 变成 \(val \times mul + add\)。再来一组标记 \((\_mul,\_add)\)就变成了 \((val \times mul + add) \times \_mul + \_add\) 也就是 \(val \times mul \times \_mul + (add \times \_mul + \_add)\)，就相当于原始是 \(val\) 的值加上了一组标记 \((mul \times \_mul,add \times \_mul + \_add)\)。十分正常，这样好。

因此，我们就能轻松地写出先乘再加的标记打法了。