莫比乌斯反演略解

参考资料

1. PoPoQQQ的PPT
2. 莫比乌斯反演定理证明
3. 莫比乌斯反演简要笔记

定义

\[f(n)=\sum_{d|n}g(d) \Rightarrow g(n)=\sum_{d|n} \mu(d)f(\frac{n}{d}). \]

更常用的：$$f(n)=\sum_{n|d}g(d) \Rightarrow g(n)=\sum_{n|d} \mu(\frac{d}{n})f(d).$$

其中 \(\mu(n)\) 是莫比乌斯函数，它的定义是：

1. \(\mu(n)=1\) 当 \(n=1\)。
2. \(n=p_1p_2p_3 \cdots p_k\)，其中 \(p_i\) 互不相同，则 \(\mu(n)=(-1)^k\)。
3. 其它情况，\(\mu(n)=0\)。

常用性质

1. 对任意正整数 \(n\) 有：
   \[\sum_{d|n}\mu(d)=\begin{cases} 1 & n=1 \\ 0 & n>1\end{cases}. \]

2. （很少用）对任意正整数 \(n\) 有：
   \[\sum_{d|n}\frac{\mu(d)}{d}=\frac{\varphi(n)}{n}. \]

证明

对性质1的证明

\(n=1\) 时答案显然。

\(n > 1\) 时，设 \(n=p_1^{a_1}p_2^{a_2} \ldots p_k^{a_k}\)，在 \(n\) 的所有因子中，若 \(\mu\) 不为0，这些因子的质因子次数为1或0。则

\[\sum_{d|n}\mu(d)=C_k^0-C_k^1+C_k^2+\cdots+(-1)^kC_k^k=\sum_{i=0}^k(-1)^iC_k^i. \]

二项式定理，\((x+y)^n=\sum_{i=0}^nC_n^ix^iy^{n-i}\)。令\(x=-1,y=1\)，证毕。

对定义1的证明

欲证 \(g(n)=\sum_{d|n} \mu(d)f(\frac{n}{d})\)。

有

\[\begin{align} \sum_{d|n} \mu(d)f(\frac{n}{d}) &= \sum_{d|n}(\mu(d) \cdot \sum_{e|\frac{n}{d}}g(e)) \\&= \sum_{d|n}\sum_{e|\frac{n}{d}}(\mu(d) \cdot g(e)) .\end{align} \]

分别根据定义和分配律。

可以发现，这是所有满足 \((de)|n\) 的 \(\mu(d) \cdot g(e)\) 之和。

所以可以交换sum，变成

\[\begin{align} \sum_{d|n} \mu(d)f(\frac{n}{d}) &= \sum_{e|n}\sum_{d|\frac{n}{e}}(\mu(d) \cdot g(e)) \\ &= \sum_{e|n}(g(e) \cdot \sum_{d|\frac{n}{e}}\mu(d))\end{align} \]

最后一个根据分配律逆定律得来。

只有当 \(n/e=1\) 也就是 \(e=n\) 的时候 \(\sum_{d|\frac{n}{e}}\mu(d)\)才为1，其余时候都为0。

于是 \(\sum_{d|n} \mu(d)f(\frac{n}{d}) = g(n)\)。证毕。

对定义2的证明

欲证 \(g(n)=\sum_{n|d} \mu(\frac{d}{n})f(d)\)。

记\(k=d/n\)。 以下证明省略 \(k\) 的上届（视题而定）。

\[\begin{align} \sum_{n|d} \mu(\frac{d}{n})f(d) &=\sum_{k=1}\mu(k)f(nk) \\ &= \sum_{k=1}(\mu(k)\sum_{nk|t}g(t)) \\ &= \sum_{n|t}(g(t)\sum_{k|\frac{t}{n}}\mu(k)). \end{align} \]

只有当 \(t/n=1\) 也就是 \(t=n\) 的时候 \(\sum_{k|\frac{t}{n}}\mu(k)\)才为1，其余时候都为0。

于是 \(\sum_{n|d} \mu(\frac{d}{n})f(d)=g(n)\)。证毕。

实用意义

主要是用于当 \(g(x)\) 比较不好搞但是其“倍数和”或者是“约数和” \(f(x)\) 比较好搞的时候。

一些代码

线性筛莫比乌斯函数

void shai(){
	memset(isp, true, sizeof(isp));
	isp[0] = isp[1] = false;
	mu[1] = 1;
	for(int i=2; i<=100000; i++){
		if(isp[i])	 pri[++cnt] = i, mu[i] = -1;
		for(int j=1; j<=cnt; j++){
			if(i*pri[j]>100000)	break;
			isp[i*pri[j]] = false;
			if(i%pri[j]==0){
				mu[i*pri[j]] = 0;
				break;
			}
			mu[i*pri[j]] = -mu[i];
		}
	}
}

例题

hdu 1695