裴蜀定理

 

如果  a,b  均是正整数且互质，那么由 ax+by,x≥0,y≥0ax+by,x≥0,y≥0 不能凑出的最大数是 ab−a−bab−a−b。

（题目保证有解说明a,b互质）

下面给出证明：

首先证明 ab−a−bab−a−b 不能被 ax+bx,x≥0,y≥0ax+bx,x≥0,y≥0表示出。
反正法，假设 ab−a−b=ax+byab−a−b=ax+by，那么 ab=a(x+1)+b(y+1)ab=a(x+1)+b(y+1) ，由于 a|ab,a|a(x+1)a|ab,a|a(x+1)，所以 a|b(y+1)a|b(y+1)，由于 a,ba,b 互质，所以 a|(y+1)a|(y+1)，由于 y≥0y≥0，所以 a<=y+1a<=y+1，所以 b(y+1)≥abb(y+1)≥ab。同理可得 a(x+1)≥aba(x+1)≥ab，所以 a(x+1)+b(y+1)≥2ab>aba(x+1)+b(y+1)≥2ab>ab，矛盾。

证明 ab−a−b+d,d>0ab−a−b+d,d>0 一定可以表示成 ax+by,x,y≥0ax+by,x,y≥0 的形式