FBG传感器模型

[[布拉格光栅光纤]] 传感器能够通过传感器布拉格波长偏移（ \(\Delta\lambda_B\) ）的应变测量来检测曲率。由于光纤中布拉格光栅的周期性，无应变时的布拉格波长 \(\lambda_{B,0}\) 将受到应变变化 \(\Delta\epsilon\) 和温度变化 \(\Delta T\) 的影响发生漂移，其规律由以下公式描述

\[\frac{\Delta\lambda_{B}}{\lambda_{B,0}}=S_{\epsilon}\Delta\epsilon+S_{T}\Delta T \]

其中，\(S_{\epsilon}\) 与 \(S_{T}\) 分别为布拉格光栅对于应变和温度的敏感系数。
根据伯努利梁理论，

\[\epsilon=\kappa y \]

如果我们知道了应变，在已知光栅至弯曲中性层距离的 \(y\) 的情况下，可以快速求出光纤在该光栅处的曲率 \(\kappa\)。
在多数应用场景中，通常是使用多芯光纤进行测量，其中有一根芯是埋在其他光纤芯的正中间的位置，可认为在任何弯曲过程中其都处于中性层内，所以其不会产生应变，其布拉格波长的漂移均由温度引起，即

\[\frac{\Delta\lambda_{B}}{\lambda_{B,0}}=S_{T}\Delta T \]

由于布拉格波长漂移与应变和温度是线性关系，所以利用最中心的光纤芯，可以作为基准，补偿周围光纤芯受温度影响引起的布拉格光栅波长漂移，从而得到完全由应变引起的布拉格光栅波长漂移。
在消除温度的影响后，结合布拉格光栅波长漂移模型以及伯努利梁理论，我们可以得到光纤弯曲的曲率与布拉格光栅波长漂移的关系：

\[\kappa = \frac{1}{\lambda_{B,0}S_{\epsilon}y} · \Delta\lambda_{B}=c · \Delta\lambda_{B} \]

其中，\(c\) 是常系数，对于同一根光纤而言，可以通过实验的方式测定。
所以，通过布拉格光栅波长的漂移，可以很容易测量光纤在局部位置的曲率。

多芯光纤或多光纤阵列模型

由前述可知，由于多芯光纤或者多个光纤的阵列可以补偿温度引起的光栅波长漂移问题，所以工程上大多使用多芯光纤或者多个光纤阵列来感知形状。无论是多芯光纤还是多个光纤的阵列组成的传感器，其局部的建模方式都一致，这里我们使用多芯光纤进行建模。
一种典型的 4 芯光纤的截面如图所示，
![[多芯光纤截面示意.png]]
其中 \(\lambda_{i}\) 表示第 \(i\) 根光纤芯轴所产生反射波长，\(r\) 是外围芯轴距离中性层芯轴的距离，\(\theta_{i}\) 描述 \(x\) 轴逆时针旋转到达第 \(i\) 根芯轴所需要的角度（由于这种典型的布置方式是均分布局，所以 \(\theta_{2}=0，\theta_{3}=\frac{2}{3}\pi，\theta_{4}=\frac{4}{3}\pi\) ）， \(\theta_{b}\) 描述的是弯曲方向在截面上投影与 \(x\) 轴方向的夹角。
由于中性面与弯曲方向垂直，根据 \(\theta_{b}\) 取同值时，芯轴距离中心面的距离发生变化，其在不同芯轴上产生的应变也不同，具体关系如下^[1]：

\[\epsilon_i=-k_i r_i \cos (\theta_{b} -\frac{3}{2}\pi-\theta_i) \]

根据我们实际的场景，我们可以通过每个光纤芯轴的光栅测得的波长漂移，得到相应的 \(\epsilon_i\)，然后求得每个芯轴的曲率，但是这种方式需要考虑所有芯轴，然后求解超静定方程组。一种简单的方式将不同芯轴所测量的曲率以及其分布位置，构造曲率向量

\[\mathsf{\kappa_i} = - \frac{\epsilon_i}{r_i}(\cos(\theta_i)\hat{x}+\sin(\theta_i)\hat{y}) \]

通过将所有芯轴的曲率向量求和，得到光纤整体的曲率向量

\[\mathsf{\kappa} = - \sum_{i=1}^{N}\frac{\epsilon_i}{r_i}\cos(\theta_i)\hat{x}-\sum_{i=1}^{N}\frac{\epsilon_i}{r_i}\sin(\theta_i)\hat{y} \]

则可以得到光纤在此处局部的斜率

\[k = \frac{2\left | \mathsf{\kappa} \right |}{N} \]

而弯曲的方向

\[\theta_{b} = \mathrm{atan2}(-\sum_{i=1}^{N}\frac{\epsilon_i}{r_i}\sin(\theta_i)， - \sum_{i=1}^{N}\frac{\epsilon_i}{r_i}\cos(\theta_i)). \]

由微积分中对曲线挠率的基本定义可知

\[\tau(s) = \frac{\mathrm{d} \theta_{b} }{\mathrm{d} s}. \]

通过该微分关系，即可在光栅之间对离散的 \(\theta_{b}\) 进行样条曲线插值，再通过差分的方式求得离散的挠率 \(\tau(s)\).

More Reading

Lezcano, Dimitri A., Yernar Zhetpissov, Alexandra Cheng, Jin Seob Kim, and Iulian I. Iordachita. 2023. “Optical Fiber-Based Needle Shape Sensing in Real Tissue: Single Core vs. Multicore Approaches.” arXiv. https://doi.org/10.48550/arXiv.2309.04407.

Reference

---

1. Moore, Jason P., and Matthew D. Rogge. “Shape Sensing Using Multi-Core Fiber Optic Cable and Parametric Curve Solutions.” Optics Express 20, no. 3 (January 30, 2012): 2967. https://doi.org/10.1364/OE.20.002967. ↩︎