「Note」高斯消元（未完）
引入
求解一个线性方程组
\[\begin{cases}
a_{1,1}x_1+a_{1,2}x_2+...+a_{1,n}x_n=b_1 \\
a_{2,1}x_1+a_{2,2}x_2+...+a_{2,n}x_n=b_2 \\
\vdots \\
a_{n,1}x_1+a_{n,2}x_2+...+a_{n,n}x_n=b_n \\
\end{cases}
\]
可以将方程组进行改写：
\[
\begin{pmatrix}
a_{1,1}x_1+a_{1,2}x_2+...+a_{1,n}x_n \\
a_{2,1}x_1+a_{2,2}x_2+...+a_{2,n}x_n \\
\vdots \\
a_{n,1}x_1+a_{n,2}x_2+...+a_{n,n}x_n \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
b_{1}\\
b_{2} \\
\vdots \\
b_{n}
\end{pmatrix}
\]
\[
\begin{pmatrix}
a_{1,1} & a_{1,2} & \dots & a_{1,n}\\
a_{2,1} & a_{2,2} & \dots & a_{2,n} \\
\vdots & \vdots& \vdots & \vdots \\
a_{n,1} & a_{n,2} & \dots & a_{n,n}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_{1}\\
x_{2} \\
\vdots \\
x_{n}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
b_{1}\\
b_{2} \\
\vdots \\
b_{n}
\end{pmatrix}
\]
\[
记
A=
\begin{pmatrix}
a_{1,1} & a_{1,2} & \dots & a_{1,n}\\
a_{2,1} & a_{2,2} & \dots & a_{2,n} \\
\vdots & \vdots& \vdots & \vdots \\
a_{n,1} & a_{n,2} & \dots & a_{n,n}
\end{pmatrix}
X=
\begin{pmatrix}
x_{1}\\
x_{2} \\
\vdots \\
x_{n}
\end{pmatrix}
B=
\begin{pmatrix}
b_{1}\\
b_{2} \\
\vdots \\
b_{n}
\end{pmatrix}
\]
\(A\) 表示系数矩阵， \(X\) 表示未知量矩阵， \(B\) 表示常数项矩阵。
所以原方程为 \(AX=B\) 。
相关概念
我们把系数矩阵和常数项矩阵放在一起后的矩阵，称为增广矩阵。
\[(A|B)=
\left\{ \begin{array}{cccc|c}
a_{1,1} & a_{1,2} & \dots & a_{1,n} & b_1\\
a_{2,1} & a_{2,2} & \dots & a_{2,n} & b_2\\
\vdots & \vdots& \vdots & \vdots & \vdots\\
a_{n,1} & a_{n,2} & \dots & a_{n,n} & b_n
\end{array} \right\}
\]
思路
对于解方程，最基本的方法就是消元。而高斯消元顾名思义也是要用到这个方法。
首先，要了解到解方程的几个初等变换：
1.互换两个方程的位置
2.用一个非零数乘某个方程的两边
3.将一个方程的两边同乘以某常数加到另一个方程
而我们在解线性方程组的过程中对 \(AX=B\) 进行初等变换实际就是在对 ta 的增广矩阵进行行初等变换。
不妨举个例子：
\[\begin{cases}
x_1+2x_2+x_3=12 \\
2x_1+x_2+...+x_3=11 \\
2x_1+3x_2+...+3x_3=25 \\
\end{cases}
\]
则增广矩阵为：
\[\left\{ \begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & 1 & 12 \\
2 & 1 & 1 & 11 \\
2 & 3 & 3 & 25
\end{array} \right\}
\]
我们可以对其进行以上的变换：
\[将第二，三行减去第一行 \times 2。\\
\left\{ \begin{array}{ccc|c}
2 & 4 & 2 & 24 \\
& -3 & -1 & -13 \\
& -1 & 1 & 1
\end{array} \right\}
\\
将第三行减去第二行 \times \frac{1}{3} 。\\
\left\{ \begin{array}{ccc|c}
2 & 4 & 2 & 24 \\
& -3 & -1 & -13 \\
& & \frac{4}{3} & \frac{16}{3}
\end{array} \right\}
\\
此时可以通过第三行解得 x_3=\frac{\frac{16}{3}}{\frac{4}{3}}=4\\
代入第二行可解得 x_2=\frac{-9}{-3}=3\\
再将 x_2,x_3 代入第一行，即可解得 x_1=\frac{4}{2}=2
\]
总的来说，我们在第 \(k\) 消元过程中，找定一行为这次消元的主行，则 \(a_{k,k}\) 就为这次消元的主元素。
我们消元的目的就是将第 \(k+1\)~\(n\) 行的 \(x_k\) 的系数消为 \(0\) 。
所以我们将第 \(i\) 行（ \(i \in [k+1,n]\) ），减去第 \(k\) 行乘上 \(\frac{a_{k,i}}{a_{k,k}}\) ，使得两行 \(x_k\) 的系数相同，进而消掉 \(a_{k,i}\) 。
最终到达的效果就是第 \(n\) 行，第 \(1\)~\(n-1\) 列的系数都为 \(0\) 。因此可以直接解得 \(x_n\)。
而 \(n-1\) 行，只有第 \(n-1\) ，\(n\) 列上有系数。由于我们解得 \(x_n\) ，于是可以代入 \(x_n\) 解得 \(x_{n-1}\) 。
以此类推下去，就可以解出整个方程组的解。
解的状态判定
对于方程组，通常有 无解，无数解，唯一解 三种状态。
代码
\\P3389
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define Maxn 105
const double Eps = 1e-8;
using namespace std;
int n;
double a[Maxn][Maxn];
int Gauss () {
int r, c;
for (r = 1, c = 1; c <= n && r <= n; c ++) {
int pos = r;
for (int i = r; i <= n; i ++) {
if (fabs (a[i][c]) > fabs (a[pos][c])) pos = i;
}
if (fabs (a[pos][c]) < Eps) continue;
for (int i = c; i <= n + 1; i ++) swap (a[pos][i], a[r][i]);
for (int i = n + 1; i >= c; i --) a[r][i] /= a[r][c];
for (int i = r + 1; i <= n; i ++)
for (int j = n + 1; j >= c; j --) a[i][j] -= a[r][j] * a[i][c];
r ++;
}
if (r <= n) {
for (int i = r + 1; i <= n; i ++) {
if (fabs (a[i][n + 1]) > Eps) return 2;
}
return 1;
} else {
for (int i = n; i >= 1; i --)
for (int j = i + 1; j <= n; j ++) a[i][n + 1] -= a[i][j] * a[j][n + 1];
return 0;
}
}
int main () {
scanf ("%d", &n);
for (int i = 1; i <= n; i ++) {
for (int j = 1; j <= n + 1; j ++) {
scanf ("%lf", &a[i][j]);
}
}
if (Gauss ()) {
printf ("No Solution");
} else {
for (int i = 1; i <= n; i ++) {
printf ("%.2lf\n", a[i][n + 1]);
}
}
return 0;
}
