「Exercise」二项式定理与组合恒等式の 一些练习（未完）
\(Q1\) :
由二项式定理可知：\((x+y)^n=\sum\limits_{k=0}^n\dbinom{n}{k}x^ky^{n-k}\)
易知 \(x^5y^{13}\) 是 \((x+y)^{18}\) 的第五项
\(\therefore\) \(x^5y^{13}\) 的系数是 \(\dbinom{18}{5}3^5(-2)^{13}=-\dbinom{18}{5}2^{13}3^5\)
\(\because 8+9 \neq 18\)
\(\therefore (x+y)^{18}\) 展开式中不存在 \(x^8y^9\)
\(Q2\) ：
\(3^n=(1+2)^n\)
由二项式定理可知
\(3^n=(1+2)^n=\sum\limits_{k=0}^n\dbinom{n}{k}1^k2^{n-k}=\sum\limits_{k=0}^n\dbinom{n}{k}1^{n-k}2^k=\sum\limits_{k=0}^n\dbinom{n}{k}2^k\)
推广：对于任意实数 \(r\) 求 \(\sum\limits_{k=0}^n\dbinom{n}{k}r^k\)
\(\sum\limits_{k=0}^n\dbinom{n}{k}r^k=\sum\limits_{k=0}^n\dbinom{n}{k}r^k1^{n-k}\)
有二项式定理可知
\(\sum\limits_{k=0}^n\dbinom{n}{k}r^k=\sum\limits_{k=0}^n\dbinom{n}{k}r^k1^{n-k}=(1+r)^n\)
\(Q3\) :
由二项式定理可知
\(\sum\limits_{k=0}^n(-1)^k\dbinom{n}{k}3^{n-k}=(-1+3)^n=2^n\)
\(Q4\) :
由二项式定理可知
\(\sum\limits_{k=0}^n(-1)^k\dbinom{n}{k}10^{k}=\sum\limits_{k=0}^n\dbinom{n}{k}(-10)^{k}=\sum\limits_{k=0}^n\dbinom{n}{k}(-10)^{k}1^{n-k}=(-10+1)^n=(-9)^n\)
\(Q5\) :
\(\dbinom{n}{k}\) 即为在 \(n\) 个球里面取 \(k\) 个的方案数。
\(\dbinom{n-3}{k}\) 即为在 \(n\) 个球里面钦定 \(3\) 个球都不取，取 \(k\) 个的方案数。
左边 \(\dbinom{n}{k}-\dbinom{n-3}{k}\) 即为在 \(n\) 个球中钦定的 \(3\) 个球，这 \(3\) 个球里至少取一个，取 \(k\) 个的方案数。
及钦定的三个球分别为 \(a,b,c\) 。
-
必选 \(a\) 球。则方案数为 \(\dbinom{n-1}{k-1}\) 。
-
必选 \(b\) 球。
这里要考虑到在必选 \(a\) 球的情况会存在选了 \(b\) 球的情况，所以为了不重复也不能选 \(a\) 球。
所以方案数为 \(\dbinom{n-2}{k-1}\) 。
-
必选 \(c\) 球。
同理，前两种情况中也会有选到了 \(c\) 球的情况，所以为了去重也不能取 \(a\) , \(b\) 球。
所以方案数为 \(\dbinom{n-3}{k-1}\) 。
综上所述，总方案数为 \(\dbinom{n-1}{k-1}+\dbinom{n-2}{k-1}+\dbinom{n-3}{k-1}\) 。
所以 \(\dbinom{n}{k}-\dbinom{n-3}{k}=\dbinom{n-1}{k-1}+\dbinom{n-2}{k-1}+\dbinom{n-3}{k-1}\) 。
\(Q6\) :
-
当 \(n\) 为奇数。
\(\because \dbinom{n}{k}=\dbinom{n}{n-k}\)
\(\therefore \dbinom{n}{k}^2=\dbinom{n}{n-k}^2\)
\(\therefore \sum\limits_{k=0}^n(-1)^k\dbinom{n}{k}^2=(-1)^0\dbinom{n}{0}^2+(-1)^1\dbinom{n}{1}^2+...+(-1)^{n-1}\dbinom{n}{n-1}^2+(-1)^{n}\dbinom{n}{n}^2\)
\(=\dbinom{n}{0}^2-\dbinom{n}{1}^2+\dbinom{n}{2}^2-...+\dbinom{n}{n-1}^2-\dbinom{n}{n}^2\)
\(=\dbinom{n}{0}^2-\dbinom{n}{n}^2+\dbinom{n}{1}^2-\dbinom{n}{n-1}^2+...+\dbinom{n}{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor}^2-\dbinom{n}{\lceil \frac{n}{2} \rceil}^2 = 0\)
-
当 \(n\) 为偶数。
\(Q7\) :
原式 \(=\dbinom{3}{0}\dbinom{n}{k}+\dbinom{3}{1}\dbinom{n}{k-1}+\dbinom{3}{2}\dbinom{n}{k-2}+\dbinom{3}{3}\dbinom{n}{k-3}\)
考虑组合意义，有 \(n+3\) 个球，从中取 \(k\) 个球。
容易得到方案数为 \(\dbinom{n+3}{k}\) 。
另一种方式理解，钦定其中的 \(3\) 个球。
- 在钦定的球中选 \(0\) 个。则在另外 \(n\) 个球中选 \(k\) 个，所以方案数为 \(\dbinom{3}{0}\dbinom{n}{k}\) 。
- 在钦定的球中选 \(1\) 个。则在另外 \(n\) 个球中选 \(k-1\) 个，方案数为 \(\dbinom{3}{1}\dbinom{n}{k-1}\) 。
- 在钦定的球中选 \(2\) 个。同理。方案数为 \(\dbinom{3}{2}\dbinom{n}{k-2}\) 。
- 在钦定的球中选 \(3\) 个。同理。方案数为 \(\dbinom{3}{3}\dbinom{n}{k-3}\) 。
则总方案数为 \(\dbinom{3}{0}\dbinom{n}{k}+\dbinom{3}{1}\dbinom{n}{k-1}+\dbinom{3}{2}\dbinom{n}{k-2}+\dbinom{3}{3}\dbinom{n}{k-3}=\dbinom{n+3}{k}\)
\(Q8\) :
\(Q9\) :
原式 \(= \frac{1}{1}\dbinom{n}{0}-\frac{1}{2}\dbinom{n}{1}+\frac{1}{3}\dbinom{n}{2}+...+(-1)^n\frac{1}{n+1}\dbinom{n}{n}\)
\(= \frac{1}{n+1}\times(n+1)\times[\frac{1}{1}\dbinom{n}{0}-\frac{1}{2}\dbinom{n}{1}+\frac{1}{3}\dbinom{n}{2}+...+(-1)^n\frac{1}{n+1}\dbinom{n}{n}]\)
\(= \frac{1}{n+1} [\dbinom{n+1}{1}-\dbinom{n+1}{2}+\dbinom{n+1}{3}+...+(-1)^n\dbinom{n+1}{n+1}]\)
\(=\)
\(Q10\) :
(1) \(\because (n-k)\dbinom{n}{k}=n\dbinom{n-1}{k}\)
\(\therefore\dbinom{n+1}{k+1}=\dbinom{0}{k}+\dbinom{1}{k}+...+\dbinom{n}{k}\)
\(= \dbinom{k}{k}+\dbinom{k+1}{k}+...+\dbinom{n-1}{k}+\dbinom{n}{k}\)
\(= \frac{1}{k}\dbinom{k+1}{k}+\dbinom{k+1}{k}+...+\dbinom{n-1}{k}+\dbinom{n}{k}\)
\(= \frac{k+1}{k}\dbinom{k+1}{k}+\dbinom{k+2}{k}+...+\dbinom{n-1}{k}+\dbinom{n}{k}\)
\(= \frac{k+1}{k}\frac{2}{k+1}\dbinom{k+2}{k}+\dbinom{k+2}{k}+...+\dbinom{n-1}{k}+\dbinom{n}{k}\)
\(= \frac{k+2}{k}\dbinom{k+2}{k}+\dbinom{k+3}{k}+...+\dbinom{n-1}{k}+\dbinom{n}{k}\)
\(...\)
\(= \frac{n-1}{k}\dbinom{n-1}{k}+\dbinom{n}{k}\)
\(= \frac{n-1}{k}\frac{n-k}{n-1}\dbinom{n}{k}+\dbinom{n}{k}\)
\(= \frac{n-k}{k}\dbinom{n}{k}+\dbinom{n}{k}\)
\(= \frac{n}{k}\dbinom{n}{k}\)
\(= \dbinom{n+1}{k+1}\)
(2) \(右式=2\times\frac{m(m-1)}{2}+m=m(m-1)+m=m(m-1+1)=m^2\)
\(Q11\) :
\(\because 右式=a\times\frac{m(m-1)(m-2)}{3!}+b\times\frac{m(m-1)}{2!}+c\times\frac{m}{1!}\)
\(=\frac{a}{6}\times m(m-1)(m-2)+\frac{b}{2}\times m(m-1)+c\times m\)
\(=\frac{a}{6} \times (m^3-3m^2+2m)+\frac{b}{2}\times (m^2-m)+c\times m\)
\(= \frac{a}{6} m^3-\frac{a}{2} m^2+\frac{a}{3}m+\frac{b}{2}m^2-\frac{b}{2}m+cm\)
\(=\frac{a}{6} m^3+(\frac{b}{2}-\frac{a}{2}) m^2+(\frac{a}{3}-\frac{b}{2}+c)m=m^3\)
解之得：
\(Q12\) :
未完咕咕咕。。。
