「Proof」二项式反演证明（未完结）

二项式反演

如果定义 \(f(n)=\sum\limits_{i=0}^{n} \binom{n}{i} g(i)\)

那么有 \(g(n)=\sum\limits_{i=0}^{n} (-1)^{n-i} \binom{n}{i} f(i)\)

证明：

\[代入 f(i) 则有 \\ g(n)=\sum\limits_{i=0}^{n} (-1)^{n-i} \binom{n}{i} \sum\limits_{j=0}^{i} \binom{i}{j} g(j) \\ =\sum\limits_{i=0}^{n} \sum\limits_{j=0}^{i}(-1)^{n-i} \binom{n}{i} \binom{i}{j} g(j) \\ =\sum\limits_{j=0}^{n} \sum\limits_{i=j}^{n}(-1)^{n-i} \binom{n}{i} \binom{i}{j} g(j) \\ =\sum\limits_{j=0}^{n} g(j)\sum\limits_{i=j}^{n}(-1)^{n-i} \binom{n}{i} \binom{i}{j} \\ 考虑两个组合数的组合意义：在 n 个数中选 i 个，再在 i 个数中选 j 个 \\ 等价于在 n 个数中选 j 个，再在 n-j 个中选 i-j 个 \\ =\sum\limits_{j=0}^{n} g(j)\sum\limits_{i=j}^{n}(-1)^{n-i} \binom{n}{j} \binom{n-j}{i-j} \\ =\sum\limits_{j=0}^{n}\binom{n}{j}g(j)\sum\limits_{i=j}^{n}(-1)^{n-i} \binom{n-j}{i-j} \\ 记 k=i-j\\ =\sum\limits_{j=0}^{n}\binom{n}{j}g(j)\sum\limits_{k=0}^{n-j}(-1)^{n-j-k} \binom{n-j}{k} \\ =\sum\limits_{j=0}^{n}\binom{n}{j}g(j)\sum\limits_{k=0}^{n-j}1^k (-1)^{n-j-k}\binom{n-j}{k} \\ 由二项式定理得 j \neq n 时\sum\limits_{k=0}^{n-j}1^k (-1)^{n-j-k}\binom{n-j}{k}=0 \\ =\binom{n}{n}g(n)1^0 (-1)^0 \binom{0}{0} =g(n) 得证 \]

推广 1

如果定义 \(f(n)=\sum\limits_{i=m}^{n} \binom{n}{i} g(i)\)

那么有 \(g(n)=\sum\limits_{i=m}^{n} (-1)^{n-i} \binom{n}{i} f(i)\)

证明：

推广 2

如果定义 \(f(n)=\sum\limits_{i=n}^{m} \binom{i}{n} g(i)\)

那么有 \(g(n)=\sum\limits_{i=n}^{m} (-1)^{i-n} \binom{i}{n} f(i)\)

证明：