「Solution」 CF149D Coloring Brackets
Problem
题意很简单，就是给你一串合法的括号序列（如 \(()(())\) ），给你三个染色的条件：
- 一个括号可以染红色、蓝色或不染色；
- 一对匹配的括号需要且只能将其中一个染色 ；
- 相邻两个括号颜色不能相同（但可以都不染色）；
求符合条件的染色方案总数。
Solution
我们定义括号序列为 \(s\) , \(dp[i][j][u][v]\) 表示 \(s[i]\) 用颜色 \(u\)，\(s[j]\) 用颜色 \(v\)，\(s\) 在 \([i,j]\) 上的方案总数。其中 \(u,v=0/1/2\) （\(0\) 表示不染色，\(1\) 表示染红色，\(2\)表示染蓝色）。\(p[i]\) 表示与 \(s[i]\) （\(s[i]\)为正括号）匹配的反括号的下标。
我们用 \(l,r\) 表示一段区间的左端点和右端点
-
当 \(l+1=r\)。
因为 \(s\) 是合法的序列，所以经过递归的操作后也是合法的括号序列，即为 \(()\)，而这种情况，根据条件一和二，只有 \((1,0) (2,0) (0,1) (0,2)\) 的情况。这也是递归的边界，已经无法再拆分下去了。
if (l + 1 == r) { dp[l][r][1][0] = dp[l][r][2][0] = 1; dp[l][r][0][1] = dp[l][r][0][2] = 1; return ; } -
当 \(p[l]=r\)，即 \(s[i],s[j]\) 为一组匹配的括号。
要求 \(dp[l][r][u][v]\) ，肯定会由 \(dp[l+1][r-1][u][v]\) 得到，因为 \([l,r]\) 的最优解是建立在 \([l+1,r-1]\) 之上的。
所以可以用四重循环来枚举 \(s[l],s[r],s[l+1],s[r-1]\) 染的颜色，设染的颜色分别为 \(i,j,u,v\)index : l l + 1 …… r - 1 r color : i u …… v j枚举出来的情况肯定有不符合条件的，所以可以根据条件进行筛选：
1.(i + j) && !(i * j) //s[l],s[r]有且仅有一个不染色（为0） 2.(i != u || !(i + u)) //s[l],s[l+1]要不都为0，要不都不为0且互不相等 3.(j != v || !(j + v) //s[r],s[r-1]同理在枚举之前，显然还要先拆分 \([l+1,r-1]\) ，也就是先求解子问题。
dfs(l + 1, r - 1); for (int i = 0; i <= 2; i++) { for (int j = 0; j <= 2; j++) { for (int u = 0; u <= 2; u++) { for (int v = 0; v <= 2; v++) { if ((i + j) && !(i * j) && (i != u || !(i + u)) && (j != v || !(j + v))) { dp[l][r][i][j] += dp[l + 1][r - 1][u][v]; dp[l][r][i][j] %= MOD; } } } } } -
\(s[l],s[r]\) 匹配不上。
所以 \(s[l]\) 只能与 \(s[p[l]]\)，\(s[p[l]+1]\) 与 \(s[r]\) 进行匹配
设\(s[l],s[p[l]],s[p[l]+1],s[r]\) 染的颜色分别为 \(i,j,u,v\)index : l p[l] …… p[l] + 1 r color : i j …… u v这里只用去考虑 \(i,u;v,j\) 之间是否满足，因为 \(s[l],s[p[l]]\)，\(s[p[l]+1],s[r]\) 是否匹配会在递归求解子问题时计算，不成立的话是 \(0\)，并不影响结果。
dfs(l, p[l]); dfs(p[l] + 1, r); for (int i = 0; i <= 2; i++) { for (int j = 0; j <= 2; j++) { for (int u = 0; u <= 2; u++) { for (int v = 0; v <= 2; v++) { if ((j != u || !(j + u))) { dp[l][r][i][v] += dp[l][p[l]][i][j] * dp[p[l] + 1][r][u][v] % MOD; dp[l][r][i][v] %= MOD; } } } } }
Code
#include <stack>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define LL long long
using namespace std;
const int MAXN = 705;
const int MOD = 1e9 + 7;
int n;
char s[MAXN];
int p[MAXN];
LL dp[MAXN][MAXN][3][3], ans;
stack<int> st;
void dfs(int l, int r) {
if (l + 1 == r) {
dp[l][r][1][0] = dp[l][r][2][0] = 1;
dp[l][r][0][1] = dp[l][r][0][2] = 1;
return;
}
if (p[l] == r) {
dfs(l + 1, r - 1);
for (int i = 0; i <= 2; i++) {
for (int j = 0; j <= 2; j++) {
for (int u = 0; u <= 2; u++) {
for (int v = 0; v <= 2; v++) {
if ((i + j) && !(i * j) && (i != u || !(i + u)) && (j != v || !(j + v))) {
dp[l][r][i][j] += dp[l + 1][r - 1][u][v];
dp[l][r][i][j] %= MOD;
}
}
}
}
}
}
else {
dfs(l, p[l]);
dfs(p[l] + 1, r);
for (int i = 0; i <= 2; i++) {
for (int j = 0; j <= 2; j++) {
for (int u = 0; u <= 2; u++) {
for (int v = 0; v <= 2; v++) {
if ((j != u || !(j + u))) {
dp[l][r][i][v] += dp[l][p[l]][i][j] * dp[p[l] + 1][r][u][v] % MOD;
dp[l][r][i][v] %= MOD;
}
}
}
}
}
}
}
int main() {
scanf("%s", s + 1);
n = strlen(s + 1);
for (int i = 1; i <= n; i++) {
if (s[i] == '(')
st.push(i);
else
p[st.top()] = i, st.pop(); //处理出对应下标
}
dfs(1, n);
for (int i = 0; i <= 2; i++) {
for (int j = 0; j <= 2; j++) {
ans += dp[1][n][i][j];
ans %= MOD;
}
}
printf("%lld", ans);
//用 long long 怕计算过程中爆掉
return 0;
}
