「Solution」BalticOI 2014 Day 1 三个朋友
Problem
题目描述
给定一个字符串 \(S\) ，先将字符串 \(S\) 复制一次(变成双倍快乐)，得到字符串 \(T\) ，然后在 \(T\) 中插入一个字符，得到字符串 \(U\) 。
给出字符串 \(U\) ，重新构造出字符串 \(S\) 。
输入格式
第一行一个整数 \(N\) ，表示字符串 \(U\) 的长度。
第二行一个长度为 \(N\) 的字符串，表示字符串 \(U\) 。
输出格式
一行一个字符串，表示字符串 \(S\) 。
特别地:
如果字符串无法按照上述方法构造出来，输出 NOT POSSIBLE；
如果字符串 不唯一，输出 NOT UNIQUE。
Solution
前置知识
这道题用到的方法是进制 \(hash\) ，顾名思义将字符串转化为 \(k\) 进制数，具体的方法如下：
const int MAXN = 1005;
char s[MAXN];
int hash[MAXN], k;
scanf("%s", s + 1);
for (int i = 1; i <= strlen(s + 1); i++) {
hash[i] = hash[i - 1] * k + s[i]; //将字符串转化为 k 进制数
}
当我们要求一段子串（或者说是一段区间）的 \(hash\) 值时又该怎么办呢？
设这段子串在 \([l,r]\) ，而
\(hash[l] = hash[l-1]*k+s[l]\)
\(hash[l+1] = hash[l]*k+s[l+1] = (hash[l-1]*k+s[l])*k+s[l+1]=hash[l-1]*k^2+s[l]*k+s[l+1]\)
\(…\)
容易知道 \(hash[l+1]\) 中包含了 \(hash[l-1]*k^{l+1-l+1}\) 和 \([l,l+1]\) 的 \(hash\) 值。同理 \(hash[r]\) 中包含了 \(hash[l-1]*k^{r-l+1}\) 和 \([l,r]\) 的 \(hash\) 值，所以求\([l,r]\) 的 \(hash\) 值可以用 \(hash[r]\) 减去 \(hash[l-1]*k^{r-l+1}\)。
int Get_Hash(int l, int r) {
return hash[r] - hash[l - 1] * pre[r - l + 1]; //pre[i]=k^i
}
从这个问题可以扩展到另一个问题，求 \([l,r]\) 删除下标位 \(x\) 的字符后的 \(hash\) 值。
对于这个问题我们可以先 \([l,x-1],[x+1,r]\) 的 \(hash\) 值，然后将 \(hash(l,k-1)*k^{r-(x+1)+1}\) 与 \(hash(x+1,r)\) 相加即可。这个的道理和求 \(hash\)，减去 \(hash[l-1]*k^{r-l+1}\) 是一样的。
int Get_Sum(int l, int r, int k) {
return Get_Hash(l, k - 1) * pre[r - k] + Get_Hash(k + 1, r);
}
知道了这两个问题如何求解就可以轻松解决本题了。
思路
很容易知道 \(N\) 为偶数时是一定不行的
首先按照字符的位置可以分为两种个情况：
- 在 \([1,(N+1)/2]\)
若在这之间，则 \(S\) 就是 \(s[(N+1)/2+1——N]\)
我们可以 \([1,(N+1)/2]\) 做循环，枚举字符的位置，然后根据 \(hash\) 值来判断是否相等
string str1, ans1;
int mid = (N + 1) / 2;
for (int i = mid + 1; i <= n; i++) {
str1.push_back(s[i]);
}
for (int i = 1; i <= mid; i++) {
if (Get_Sum(1, mid, i) == Get_Hash(mid + 1, n)) {
ans++;
ans1 = str1;
break;
}
}
- 在 \([(N+1)/2,N]\)
若在这之间，则 \(S\) 就是 \(s[1——(N+1)/2-1]\)
同理。
string ans2, str2;
int mid = (N + 1) / 2;
for (int i = 1; i < mid; i++) {
str2.push_back(s[i]);
}
for (int i = mid; i <= n; i++) {
if (Get_Sum(mid, n, i) == Get_Hash(1, mid - 1)) {
ans++;
ans2 = str2;
break;
}
}
在这之后，需要分出三种情况：无解？唯一解？多解？
1.当 \(ans == 0\) 一定无解，直接输出NOT POSSIBLE
2.当 \(ans==1\) 或 \(ans1 == ans2\)， 即两种情况下只有一种或者两种情况得到的是相同的解都是输出 \(ans1/ans2\).
3.上述两种情况都不满足，就肯定是多解了，输出NOT UNIQUE
Code
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int MAXN = 2e6 + 5;
#define base 131
#define ull unsigned long long
int n, mid, ans;
string str1, str2, ans1, ans2;
char s[MAXN];
ull tmpl, tmpr;
ull pre[MAXN], hash[MAXN];
ull Get_Hash(int l, int r) {
return hash[r] - hash[l - 1] * pre[r - l + 1];
}
ull Get_Sum(int l, int r, int k) {
return Get_Hash(l, k - 1) * pre[r - k] + Get_Hash(k + 1, r);
}
int main() {
scanf("%d %s", &n, s + 1);
mid = (n + 1) >> 1;
if (!(n & 1)) {
return printf("NOT POSSIBLE"), 0;
}
pre[0] = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
pre[i] = pre[i - 1] * base;
hash[i] = hash[i - 1] * base + (s[i] - 'A' + 1);
}
tmpr = Get_Hash(mid + 1, n);
for (int i = mid + 1; i <= n; i++) {
str1.push_back(s[i]);
}
for (int i = 1; i <= mid; i++) {
tmpl = Get_Sum(1, mid, i);
if (tmpl == tmpr) {
ans++;
ans1 = str1;
break;
}
}
tmpl = Get_Hash(1, mid - 1);
for (int i = 1; i < mid; i++) {
str2.push_back(s[i]);
}
for (int i = mid; i <= n; i++) {
tmpr = Get_Sum(mid, n, i);
if (tmpl == tmpr) {
ans++;
ans2 = str2;
break;
}
}
if (!ans) printf("NOT POSSIBLE");
else if (ans == 1 || ans1 == ans2) cout << (ans1.size() ? ans1 : ans2);
else printf("NOT UNIQUE");
return 0;
}
