目录
- 第1章 实数和数列极限
- §1.1 实数
- §1.2 数列和收敛数列
- §1.3 收敛数列的性质
- (上.P13)a的ε邻域
- (上.P13)定义1.3.1(数列收敛的第二定义)
- (上.P13)定理1.3.1 收敛数列的极限唯一性
- (上.P13)定义1.3.2 数列是有上界的；数列的一个上界；类似可定义下界；有界数列
- (上.P14)定理1.3.2 收敛数列是有界的.
- (上.P14)定义1.3.3 数列的一个子列
- (上.P14)定理1.3.3 收敛数列的任何子列都收敛于其极限
- (上.P14)推论1.3.1 数列收敛的充分必要条件是它的偶数项子列和奇数项子列都收敛且有相同的极限
- (上.P15)定理1.3.4(极限的四则运算)
- (上.P17)定义1.3.4 数列称为无穷小数列，简称无穷小
- (上.P17)定理1.3.5(关于无穷小的五条性质)(1)数列为无穷小的充分必要条件是其绝对值数列为无穷小；(2)两个无穷小之和(或差)仍为无穷小；(3)无穷小与有界数列的乘积数列也是无穷小；(4)数列值总在0和无穷小之间的数列也是无穷小；(5)数列以a为极限的充分必要条件是数列减去a所得数列为无穷小.
- (上.P19)定理1.3.6(夹逼原理)
- (上.P21)定理1.3.7(收敛数列的三条不等式性质)(1)收敛数列极限在区间内可得数列也在区间内；(2)两个收敛数列极限的不等式关系可得数列的不等式关系；(3)两个收敛数列的数列之间的不等式关系可得两极限的不等式关系
- §1.4 数列极限概念的推广
- §1.5 单调数列
- §1.6 自然对数的底 e
- §1.7 基本列和 Cauchy 收敛原理
- §1.8 上确界和下确界
- (上.P40)概念 集合的一个上界、集合的一个下界；有界集
- (上.P40)定义1.8.1 集合的上确界
- (上.P40)定义1.8.2 集合的下确界
- (上.P41)定理1.8.1(确界原理) 非空的有上界的集合必有上确界; 非空的有下界的集合必有下确界.
- (上.P42)性质 若记F = -E, 则 -sup(-E) = inf E 或 sup(-E) = -inf E.
- (上.P42)定义 如果E是一个没有上界的集合，我们定义sup E = + ∞；如果E没有下界，则规定inf E = - ∞.
- (上.P43)定义1.9.1 开区间族是集合的一个开覆盖
- (上.P43)定理1.9.1(紧致性定理) (有限覆盖定理)从有限闭区间的开覆盖中可选出有限个开区间仍组成该闭区间的开覆盖
- (上.P44)前面介绍的六条定理都是实数系统连续的等价陈述，从其中的任一条定理都可推导出其他定理. 若不将无理数添加到有理数上而组成实数系统，这些定理就不再成立.
- (上.P45)我们把数列的收敛子列的极限称为数列的一个极限点
- (上.P45)定义1.10.1 数列的上极限和下极限
- (上.P46)定理1.10.1 数列的上极限满足：(1)上极限也是一个极限点；(2)数列中足够靠后的数都小于上极限；(3)上极限是满足前两条性质的唯一的数.
- (上.P47)一个数列虽然可能没有极限，但它的上极限和下极限却是一定存在的.
- (上.P47)定理1.10.2 (1)同一数列的下极限小于等于上极限；(2)极限存在的充要条件是上下极限相等；(3)从某一序号开始数列一小于等于数列二可得两个数列的上极限和下极限也满足同样的不等关系
- (上.P48)定理1.10.3 定义数列的上确界数列和下确界数列，那么：(1)下确界数列是递增数列，上确界数列是递减数列；(2)下确界数列收敛于下极限，上确界数列收敛于上极限
- (上.P49)上下极限的另一种记法
- §1.11 Stolz 定理
第1章 实数和数列极限
粗略地说，数学由三个大的分支——几何学、代数学和分析学组成
§1.1 实数
(上.P1)称全体有理数组成一个数域
- 就是说，仅仅通过四则运算，我们不可能从有理数得到别的东西
有理数是如何产生的？
(上.P2)要用数反映量，归根到底，就是要创造出足以反映一切长短的全部数来
- 要用数反映量，归根到底，就是要创造出足以反映一切长短的全部数来.也就是说，规定了标准的单位长以后，每一个线段都相应有一个数表示其长短，并且数与数的关系能反映线段的长短关系.
(上.P2)分数都是有尽小数或无尽循环小数；有尽小数或无尽循环小数一定是分数
- 用7除22，除不尽，产生余数1；再除，产生余数3.如此下去，每次所余只能是0,1, \(\cdots\) ,6这七个数之一.因此最多除7次必得重复出现的余数.如果重复出现的余数是0，就得有尽小数，不然就得无尽循环小数
(上.P3)√2不是有尽小数，也不是无尽循环小数，否则它就是分数了
(上.P3)在分数(有尽或无尽循环小数)的基础上，再补充无尽不循环小数，就可以度量一切线段的长度了
- 用标准长去量一切线段，只能出现上述三种情况：量得尽，得长为有尽小数;量不尽，出现循环，得长为无尽循环小数;量不尽，且不出现循环，得无尽不循环小数.对第三种情况，我们自然用量得的无尽不循环小数表示该线段的长度.也就是说,在分数(有尽或无尽循环小数)的基础上，再补充无尽不循环小数，就可以度量一切线段的长度了.
(上.P3)实数就是全体无尽小数
- 有尽小数显然也可看作特珠的无尽循环小数，这样，实数就是全体无尽小数.
(上.P3)构造实数后可建立数轴，有了数轴就可以建立平面和空间坐标系，从而就可以建立解析几何学
- 构造了实数以后，我们就可以建立数轴.在直线\(l\)(图1.1)上任取一点\(O\)当作原点，再取一个线段当作单位长，以此单位长从原点开始往右量，量得线段\(OP\)的长为\(x\),则以\(x\)表示\(P\)点，叫作\(P\)点的坐标.以此单位长从原点开始往左量，量得线段\(OQ\)的长为\(x'\)，则以\(-x'\)表示\(Q\)点，叫作\(Q\)点的坐标.这样，\(l\)上每一点都对应一个实数，即该点的坐标，\(l\)叫作数轴.有了数轴就可以建立平面和空间坐标系，从而就可以建立解析几何学.
全体实数是否正好充满整个数轴？
(上.P4)上面那个不等式表明：每一个实数都能用有理数去逼近到任意精确的程度
- 对固定的正整数\(q\)，让\(p\)取遍所有的整数，那么\(p/q\)这些数把数轴分成一些长度为\(1/q\)的区间.每一个实数\(x\)位于这些区间中的一个区间，这就是说,对任意固定的实数\(x\),一定可找出一个整数\(p\),使得$$\frac{p}{q}\leq x < \frac{p+1}{q}$$由此得$$\left|x - \frac{p}{q}\right|<\frac{1}{q} $$由于\(q\)是任意取定的正整数，我们可以事先把\(q\)取得充分大，以至使\(1/q\)小于我们预想的值.上面那个不等式表明：每一个实数都能用有理数去逼近到任意精确的程度.
(上.P5)三角形不等式中等号成立的条件
- 三角形不等式，式中等号成立的条件是\(x\)与\(y\)中至少有一个等于0，或者\(x\)与\(y\)有相同的正负号.
(上.P5)R中的数集E在R中是稠密的，如果在任意两个实数间必有E中的一个数
- 我们说\(R\)中的数集\(E\)在\(R\)中是稠密的，如果在任意两个实数间必有\(E\)中的一个数.
§1.2 数列和收敛数列
(上.P8)一个数列；数列的通项；不具有实质性意义的符号称为哑符号
- 一个数列，正如其词义所表达的，是指一个接着一个并且永无尽头的数的排列. 数列的最一般的表示是$$a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots,$$其中\(a_n\)中的下标n指明了这一项在数列中的位置. \(a_n\)被说成是这个数列的第n项，也称作数列的通项.
- 为节约书写起见，数列常常记为\(\{a_n\}\)，这里的下标n依次地取遍正整数集N*. 下标n不具有实质性的意义，这样的符号称为哑符号.
- 注意：数列中可以出现若干相等的项，甚至所有的项都可以相等.
(上.P9)定义1.2.1 数列以a为极限；数列收敛于a；收敛数列，发散数列
- 设\(\{a_n\}\)是一个数列，\(a\)是一个实数. 如果对任意给定的\(\epsilon>0\)，存在一个\(N\in N^*\)，使得当\(n>N\)时，有 $$|a_n-a|<\epsilon,$$就说数列\(\{a_n\}\)当\(n\)趋向无穷大时以\(a\)为极限，记成 $$\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}a_n=a,$$也可以简记为\(a_n\rightarrow a(n\rightarrow \infty)\). 我们也说数列\(\{a_n\}\)收敛于\(a\). 存在极限的数列称为收敛数列;不收敛的数列称为发散数列.
§1.3 收敛数列的性质
(上.P13)a的ε邻域
- 我们称关于\(a\)对称的开区间\((a -\epsilon,a + \epsilon)\)为\(a\)的\(\epsilon\)邻域.
(上.P13)定义1.3.1(数列收敛的第二定义)
- 定义1.3.1 数列\(\{a_n\}\)当\(n\rightarrow \infty\)时收敛于实数\(a\)是指：对任意的\(\epsilon >0\),总存在\(N\in N^*\),使得此数列中除有限多项\(a_1,a_2,\cdots,a_N\)，其他的项均落在\(a\)的\(\epsilon\)邻域内(图1.2).
(上.P13)定理1.3.1 收敛数列的极限唯一性
- 定理1.3.1 如果数列\(\{a_n\}\)收敛，则它只有一个极限.也就是说，收敛数列的极限是唯一的.
(上.P13)定义1.3.2 数列是有上界的；数列的一个上界；类似可定义下界；有界数列
- 定义1.3.2 设\(\{a_n\}\)是一个数列.如果存在一个实数\(A\),使得\(a_n\leq A\)对一切\(n\in N^*\)成立，则称\(\{a_n\}\)是有上界的,\(A\)是此数列的一个上界.
类似地，可以定义有下界的数列.
如果数列\(\{a_n\}\)既有下界又有上界,则称它是一个有界数列.
(上.P14)定理1.3.2 收敛数列是有界的.
(上.P14)定义1.3.3 数列的一个子列
- 定义1.3.3 设\(\{a_n\}\)是一个数列，\(k_i\in N^*(i = 1,2,3,\cdots)\)，且满足\(k_1 < k_2 < k_3 <\cdots\)，那么数列\(\{a_{k_n}\}\)叫作\(\{a_n\}\)的一个子列.
(上.P14)定理1.3.3 收敛数列的任何子列都收敛于其极限
- 定理1.3.3 设收敛数列\(\{a_n\}\)的极限是\(a\) ,那么\(\{a_n\}\)的任何一个子列都收敛于\(a\).
- 这个定理告诉我们：如果数列\(\{a_n\}\)的两个子列收敛于不同的极限，那么数列\(\{a_n\}\)是发散的.这个结论通常被用来证明某个数列是发散的.
(上.P14)推论1.3.1 数列收敛的充分必要条件是它的偶数项子列和奇数项子列都收敛且有相同的极限
- 推论1.3.1 数列\(\{a_n\}\)收敛的充分必要条件是它的偶数项子列\(\{a_{2n}\}\)和奇数项子列\(\{a_{2n-1}\}\)都收敛，而且有相同的极限.
(上.P15)定理1.3.4(极限的四则运算)
- 定理1.3.4(极限的四则运算) 设\(\{a_n\}\)与\(\{b_n\}\)都是收敛数列，则\(\{a_n+b_n\}\),\(\{a_nb_n\}\)也是收敛数列.如果\(\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}b_n\neq 0\),则\(\{a_n/b_n\}\)也收敛,并且有：\(\\\)
(1)\(\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}(a_n ± b_n) = \underset{n\rightarrow \infty}{\lim} a_n ± \underset{n\rightarrow \infty}{\lim} b_n；\\\)
(2)\(\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}a_nb_n = \underset{n\rightarrow \infty}{\lim} a_n\cdot \underset{n\rightarrow \infty}{\lim} b_n\)，特别地，如果\(c\)是常数，便有\(\underset{n\rightarrow \infty}{\lim} ca_n = c\underset{n\rightarrow \infty}{\lim} a_n；\\\)
(3)\(\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}\frac{a_n}{b_n} =\frac{\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}a_n}{\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}b_n}\)，其中\(\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}b_n\neq 0\).
(上.P17)定义1.3.4 数列称为无穷小数列，简称无穷小
- 定义1.3.4 如果收敛数列\(\{a_n\}\)的极限等于0,那么这个数列称为无穷小数列，简称无穷小.
(上.P17)定理1.3.5(关于无穷小的五条性质)(1)数列为无穷小的充分必要条件是其绝对值数列为无穷小；(2)两个无穷小之和(或差)仍为无穷小；(3)无穷小与有界数列的乘积数列也是无穷小；(4)数列值总在0和无穷小之间的数列也是无穷小；(5)数列以a为极限的充分必要条件是数列减去a所得数列为无穷小.
- 定理1.3.5 (1)\(\{a_n\}\)为无穷小的充分必要条件是\(\{|a_n|\}\)为无穷小；\(\\\)
(2)两个无穷小之和（或差）仍为无穷小；\(\\\)
(3)设\(\{a_n\}\)为无穷小,\(\{c_n\}\)为有界数列，那么\(\{c_na_n\}\)也为无穷小；\(\\\)
(4)设\(0\leq a_n\leq b_n(n\in N^*)\),如果\(\{b_n\}\)为无穷小，那么\(\{a_n\}\)也为无穷小；\(\\\)
(5)\(\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}a_n = a\)的充分必要条件是\(\{a_n-a\}\)为无穷小.
(上.P19)定理1.3.6(夹逼原理)
- 定理1.3.6(夹逼原理) 设$$ a_n\leq b_n\leq c_n(n\in N^*).$$如果\(\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}a_n =\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}c_n=a\)，那么\[\underset{n\rightarrow \infty}{\lim} b_n = a. \]
(上.P21)定理1.3.7(收敛数列的三条不等式性质)(1)收敛数列极限在区间内可得数列也在区间内；(2)两个收敛数列极限的不等式关系可得数列的不等式关系；(3)两个收敛数列的数列之间的不等式关系可得两极限的不等式关系
- 定理1.3.7 (1)设\(\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}a_n=a,\alpha,\beta\)满足\(a<\alpha<\beta\)，那么当\(n\)充分大时，有\(a_n>\alpha\)；同样，当\(n\)充分大时，有\(a_n<\beta,\\\)
(2)设\(\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}a_n = a,\underset{n\rightarrow \infty}{\lim} b_n = b\),且\(a < b\)，那么当\(n\)充分大时,一定有\(a_n < b_n.\\\)
(3)设\(\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}a_n = a ,\underset{n\rightarrow \infty}{\lim} b_n = b\),并且当\(n\)充分大时\(a_n\leq b_n\)，那么有\(a\leq b\).
§1.4 数列极限概念的推广
(上.P24)定义1.4.1 数列趋向于\(+∞\)(正无穷大)/\(-∞\)(负无穷大)
- 如果数列\(\{a_n\}\)满足条件:对任何正数\(A\),都存在\(N\in N^*\),使得当\(n>N\)时，有\(a_n>A\)，则称数列\(\{a_n\}\)趋向于\(+\infty\)（正无穷大），记作$$\underset{n\rightarrow \infty}{\lim} a_n= + \infty.$$如果对任何正数\(A\),都存在\(N\in N^*\)，使得当\(n>N\)时，有\(a_n<-A\)，则称数列\(\{a_n\}\)趋向于\(-\infty\)（负无穷大），记作$$\underset{n\rightarrow \infty}{\lim} a_n = - \infty.$$
(上.P24)定义1.4.2 数列趋向于\(∞\)；数列称为无穷大
- 如果\(\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}|a_n | = + \infty\)，则称\(\{a_n\}\)趋向于\(\infty\)，记作\(\underset{n\rightarrow \infty}{\lim} a_n =\infty\). 无论三种情形$$\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}a_n = + \infty, \underset{n\rightarrow \infty}{\lim} a_n= - \infty , \underset{n\rightarrow \infty}{\lim} a_n =\infty$$中的哪一种，数列\(\{a_n\}\)都称为无穷大.
(上.P24)无穷大的五条性质：(1)无穷大数列无界；(2)从无界数列中必能选出无穷大子列；(3)无穷大的任意子列也是无穷大；(4)两个正无穷大的和数列或积数列也是正无穷大；(5)数列是无穷大的充要条件是其倒数数列为无穷小
- 无穷大有下列简单的性质：\(\\\)
(1)如果\(\{a_n\}\)是无穷大，那么\(\{a_n\}\)必然无界.\(\\\)
(2)从无界数列中一定能选出一个子列是无穷大.\(\\\)
(3)如果\(\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}a_n=+\infty\)(或\(-\infty,\infty\))，那么对\(\{a_n\}\)的任意子列\(\{a_{k_n}\}\)，也有$$\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}a_{k_n} =+ \infty (或-\infty , \infty).$$ \(\\\)
(4)如果\(\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}a_n = + \infty ,\underset{n\rightarrow \infty}{\lim} b_n = + \infty\)，那么$$\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}(a_n+b_n)= +\infty , \underset{n\rightarrow \infty}{\lim} a_nb_n =+\infty.$$ \(\\\)
(5)\(\{a_n\}\)是无穷大的充分必要条件是\(\{1/a_n\}\)为无穷小.
(上.P25)概念 扩充的实数系统
- 将全体实数的集合\(R\)连同两个符号\(-\infty\)与\(+\infty\)放在一起，从而形成扩充的实数系统，我们把这扩充了的系统记作\(R_{\infty}\), 即\(R_{\infty} = R \cup \{-\infty , +\infty \}\).
§1.5 单调数列
(上.P26)定义1.5.1 递增数列、递减数列；数列为严格递增的(或严格递减的)；单调数列
- 定义1.5.1 如果数列\(\{a_n\}\)满足$$a_n\leq a_{n+1}(n = 1，2,\cdots),$$则称此数列为递增数列；如果\(\{a_n\}\)满足$$a_n\geq a_{n+1}(n = 1，2,\cdots),$$则称此数列为递减数列.如果上面两个不等式都是严格的，即\(a_n< a_{n+1}\)(或\(a_n> a_{n+1}\))(\(n = 1,2,\cdots\))，则称此数列为严格递增的(或严格递减的).\(\\\)
递增或递减的数列统称为单调数列.
(上.P26)定理1.5.1 单调且有界的数列一定有极限
(上.P28)定理1.5.2(闭区间套定理) 无穷多个闭区间套的交含有唯一的一点
- 定理1.5.2(闭区间套定理) 设\(I_n =[a_n, b_n](n\in N^*)\),并且$ I_1\supset I_2\supset I_3\supset \cdots\supset I_n\supset I_{n+1}\supset\cdots$ .如果这一列区间的长度$|I_n|=b_n-a_n\rightarrow 0(n\rightarrow \infty) $ ，那么交集\(\overset{\infty}{\underset{n=1}{\bigcap}}I_n\)含有唯一的一点.
§1.6 自然对数的底 e
(上.P31)概念 以e作为底而作成的对数称为自然对数
- 同时考察如下两个数列：
\( \begin{aligned}e_n&=\left(1+\frac{1}{n} \right)^n\quad (n\in N^*), \\ s_n&=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}\quad (n\in N^*).\\\end{aligned} \)
可得$$e_n\leq 1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}=s_n<3 $$ 于是我们可以证明\(e= s\).以\(e\)作为底而作成的对数称为自然对数.
(上.P33)推论 利用不等式可以估计由近似产生的误差
- 估计这种近似所产生的误差，可以用下面的不等式：$$0< e-s_n\leq \frac{1}{n!n}\quad(n\in N^*). $$因此，用\(s_{10}\)来逼近\(e\)所产生的误差将小于\(10^{-7}\).特别地,我们看到\(e<3\).
(上.P33)定理1.6.1 自然对数的底 e 是无理数.
§1.7 基本列和 Cauchy 收敛原理
(上.P36)定义1.7.1 数列是一个基本列或Cauchy列
- 定义1.7.1 设\(\{a_n\}\)是一实数列.对任意给定的\(\epsilon >0\),若存在\(N\in N^*\)，使得当\(m,n \in N*\)且\(m,n>N\)时，有$$| a_m - a_n| <\epsilon，$$则称数列\(\{a_n\}\)是一个基本列或 Cauchy(柯西,1789~1857)列.
- 在定义1.7.1中,显然只需考虑\(m>n\)的情形.我们可以令\(m =n+ p\).这样一来,基本列的定义可以等价地叙述为:对任意给定的\(\epsilon >0\),若存在\(N\in N^*\)，使得当\(n>N\)时，$$|a_{n+p}- a_n|<\epsilon$$对一切\(p\in N^*\)成立,则数列\(\{a_n\}\)叫作基本列.
(上.P38)引理1.7.1 从任一数列中必可取出一个单调子列.
(上.P38)定理1.7.1(列紧性定理) 从任何有界的数列中必可选出一个收敛的子列.
- 此定理也称作Bolzano(波尔查诺，17811848)-Weierstrass(魏尔斯特拉斯，18151897)定理.
(上.P38)定理1.7.2 一个数列收敛的充分必要条件是,它是基本列.
- 定理1.7.2又称为数列的Cauchy收敛原理，是一个在理论上非常重要的定理，在数学分析的全部内容中，有着各式各样的表述.
§1.8 上确界和下确界
(上.P40)概念 集合的一个上界、集合的一个下界；有界集
- 设\(E\)是一个由实数组成的集合.如果存在一个实数使得对任何\(x\in E\), 有\(x\geq A\), 那么称\(A\)是\(E\)的一个下界;如果存在一个实数\(B\), 使得对任何\(x\in E\), 有\(x\leq B\), 那么称\(B\)是\(E\)的一个上界.如果集合\(E\)既有下界又有上界, 那么称\(E\)为有界集.
(上.P40)定义1.8.1 集合的上确界
- 定义1.8.1 设\(E\)为一非空的有上界的集合，实数\(\beta\)满足以下两个条件：\(\\\)
(1)对任何\(x\in E\),有\(x\leq \beta;\\\)
(2)对任意给定的\(\epsilon >0\),必可找到一个\(x_\epsilon\in E\),使得\(x_\epsilon>\beta - \epsilon\). 这时，称\(\beta\)为集合\(E\)的上确界，记为\(\beta = \sup E.\\\)
由(1)与(2)可见,\(E\)的上确界\(\beta\)是\(E\)的最小上界.
(上.P40)定义1.8.2 集合的下确界
- 定义1.8.2 设\(E\)为一非空的有下界的集合，实数\(\alpha\)满足以下两个条件：\(\\\)
(1)对任何\(x\in E\),有\(x\geq \alpha;\\\)
(2)对任意给定的\(\epsilon >0\),必可找到一个\(y_\epsilon\in E\),使得\(y_\epsilon<\alpha + \epsilon\). 这时，称\(\alpha\)为集合\(E\)的下确界，记为\(\alpha = \inf E.\\\)
同理可知，\(E\)的下确界是\(E\)的最大下界.
(上.P41)定理1.8.1(确界原理) 非空的有上界的集合必有上确界; 非空的有下界的集合必有下确界.
- 定理1.8.1也称为确界原理，它也是实数连续性的一种表现形式.
(上.P42)性质 若记F = -E, 则 -sup(-E) = inf E 或 sup(-E) = -inf E.
(上.P42)定义 如果E是一个没有上界的集合，我们定义sup E = + ∞；如果E没有下界，则规定inf E = - ∞.
- 上面只对有界的集合定义了上确界和下确界.如果\(E\)是一个没有上界的集合，我们定义$$\sup E = + \infty;$$如果\(E\)没有下界,则规定$$\inf E = - \infty.$$当\(E\)是一个数列时,\(\sup E= + \infty\)等价于从这个数列中可取出一个趋向于\(+\infty\)的子列；\(\inf E= -\infty\)等价于从中可以取出一个趋于\(-\infty\)的子列.
(上.P43)定义1.9.1 开区间族是集合的一个开覆盖
- 定义1.9.1 如果\(A\)是实数集,\(\mathscr{J}=\{ I_\lambda\}\)是一个开区间族，其中\(\lambda\in \Lambda\)，这里的\(\Lambda\)称为指标集.如果$$A\subset \underset{\lambda\in \Lambda}{\bigcup}I_\lambda,$$称开区间族\(\{ I_\lambda\}\)是\(A\)的一个开覆盖，或者说\(\{ I_\lambda\}\)盖住了\(A\).
- \(\mathscr{J}=\{ I_\lambda\}\)是\(A\)的开覆盖也可以等价地叙述为: 任取\(a \in A\), 总有\(\mathscr{J}\)中的一个成员，记为\(I_{\lambda(a)}\)，使得\(a\in I_{\lambda(a)}\).
(上.P43)定理1.9.1(紧致性定理) (有限覆盖定理)从有限闭区间的开覆盖中可选出有限个开区间仍组成该闭区间的开覆盖
- 定理1.9.1(紧致性定理) 设\([a,b]\)是一个有限闭区间,并且它有一个开覆盖\(I_{\lambda}\)，那么从这个开区间族中必可选出有限个成员(开区间)来，这有限个开区间所成的族仍是\([a,b]\)的开覆盖.\(\\\)
这个定理常称为有限覆盖定理，也叫作Heine(海涅, 1821~1881)-Borel(博雷尔, 1871~1956)定理.
(上.P44)前面介绍的六条定理都是实数系统连续的等价陈述，从其中的任一条定理都可推导出其他定理. 若不将无理数添加到有理数上而组成实数系统，这些定理就不再成立.
- 至此，我们已经介绍了六条定理，即"单调且有界的数列一定有极限"(定理1.5.1)、闭区间套定理(定理1.5.2)、Bolzano-Weierstrass 定理(定理1.7.1)、Cauchy 收敛原理(定理1.7.2)、确界原理(定理1.8.1)以及有限覆盖定理(定理1.9.1),这六条定理都是实数系统连续的等价陈述，从其中的任一条定理都可推导出其他定理.若不将无理数添加到有理数上而组成实数系统，这些定理就不再成立.
(上.P45)我们把数列的收敛子列的极限称为数列的一个极限点
- 我们把数列\(\{a_n\}\)的收敛子列\(\{a_{k_n}\}\)的极限称为\(\{a_n\}\)的一个极限点.对收敛数列而言，极限点只有一个，即它的极限.对发散数列而言，如果它有界，则它可以有若干个甚至无穷多个极限点；如果它无界，则除了有限的极限点外，它还可以以\(+\infty\)或\(-\infty\)为其极限点.
(上.P45)定义1.10.1 数列的上极限和下极限
- 定义1.10.1 设\(\{a_n\}\)是一个数列，\(E\)是由\(\{a_n\}\)的全部极限点构成的集合.记$$a^* = \sup E,\quad a_* = \inf E,$$则\(a^*\)和\(a_*\)分别称为数列\(\{a_n\}\)的上极限和下极限，记为\[a^*=\underset{n\rightarrow \infty}{\lim \sup}\,a_n,\quad a_* = \underset{n\rightarrow \infty}{\lim \inf}\, a_n. \]
(上.P46)定理1.10.1 数列的上极限满足：(1)上极限也是一个极限点；(2)数列中足够靠后的数都小于上极限；(3)上极限是满足前两条性质的唯一的数.
- 定理1.10.1 设\(\{a_n\}\)为一数列，\(E\)与\(a^*\)的意义已在定义1.10.1中描述. 那么：\(\\\)
(1)\(a^* \in E;\) \(\\\)
(2)若\(x>a^*\), 则存在\(N\in N^*\), 使得当\(n\geq N\)时，有\(a_n<x;\\\)
(3)$ a^*$是满足前两条性质的唯一的数. - 对下极限\(a_*\)，也可以建立类似的定理.
(上.P47)一个数列虽然可能没有极限，但它的上极限和下极限却是一定存在的.
(上.P47)定理1.10.2 (1)同一数列的下极限小于等于上极限；(2)极限存在的充要条件是上下极限相等；(3)从某一序号开始数列一小于等于数列二可得两个数列的上极限和下极限也满足同样的不等关系
- 设\(\{a_n\}\)，\(\{b_n\}\)是两个数列.\(\\\)
(1)\(\underset{n\rightarrow \infty}{\lim \inf}\, a_n\leq \underset{n\rightarrow \infty}{\lim \sup}\, a_n;\\\)
(2)\(\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}a_n=a\)当且仅当\(\underset{n\rightarrow \infty}{\lim \inf}\, a_n=\underset{n\rightarrow \infty}{\lim \sup}\, a_n=a;\\\)
(3)若\(N\)是某个正整数，当\(n>N\)时，\(a_n\leq b_n\)，那么$$\underset{n\rightarrow \infty}{\lim \inf}, a_n \leq \underset{n\rightarrow \infty}{\lim \inf}, b_n,\quad \underset{n\rightarrow \infty}{\lim \sup}, a_n\leq \underset{n\rightarrow \infty}{\lim \sup}, b_n.$$
(上.P48)定理1.10.3 定义数列的上确界数列和下确界数列，那么：(1)下确界数列是递增数列，上确界数列是递减数列；(2)下确界数列收敛于下极限，上确界数列收敛于上极限
- 定理 1.10.3 对数列\(\{a_n\}\)，定义\(\alpha_n=\underset{k\geq n}{\inf}\, a_k,\, \beta_n=\underset{k\geq n}{\sup}\, a_k\)，那么：\(\\\)
(1)\(\{\alpha_n\}\)是递增数列，\(\{\beta_n\}\)是递减数列；\(\\\)
(2)\(\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}\alpha_n=a_*, \,\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}\beta_n=a^*.\) - 定理1.10.3证明了\(a^*=\underset{n\rightarrow\infty}{\lim}\underset{k\geq n}{\sup}\,a_k,\,a_*=\underset{n\rightarrow\infty}{\lim}\underset{k\geq n}{\inf}\,a_k\)这两个等式常用来作为上下极限的定义，同时也说明了用记号\(\underset{n\rightarrow \infty}{\lim \sup}\)和\(\underset{n\rightarrow \infty}{\lim \inf}\)来记上下极限的原因.
(上.P49)上下极限的另一种记法
- 上下极限也可记为\(a^*=\underset{n\rightarrow\infty}{\overline{\lim}}a_n,\,a_*=\underset{n\rightarrow\infty}{\overline{\lim}}a_n.\)
§1.11 Stolz 定理
(上.P51)定理1.11.1(Stolz(斯托尔茨, 1842~1905)，无穷/无穷型，上下极限概念的一个应用，用来计算某种类型极限)
- 定理1.11.1(Stolz，\(\frac{\infty}{\infty}\)型) 设\(\{b_n\}\)是严格递增且趋于\(+\infty\)的数列. 如果$$\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}\frac{a_n-a_{n-1}}{b_n-b_{n-1}}=A, $$那么$$\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}\frac{a_n}{b_n}=A, $$其中\(A\)可以是\(+\infty\)或\(-\infty\).
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