「题解」洛谷 P5020 货币系统

题目

P5020 货币系统

简化题意

给你一个集合 \(A\)，让你找到元素最少的和集合 \(A\) 等价的集合 \(B\)。

等价指的是用 \(A\) 中元素能表出的使用 \(B\) 中元素也能表出，用 \(A\) 中元素不能表出的使用 \(B\) 中元素也不能表出。

题解

dp。本题的答案就是 \(A\) 中不能被 \(A\) 中其它元素表出的元素的个数。

证明：

先证明 \(A\) 中不能被 \(A\) 中其它元素表出的元素一定在 \(B\) 中。

反证法。若 \(x \in A\) 并且 \(x\) 不能被 \(A\) 中其它元素表出。设 \(x \notin B\)。

因为 \(A\) 和 \(B\) 是等价的，所以 \(B\) 中一定存在 \(b_1,b_2,\dots b_k\) 可以表出 \(x\)。然后 \(A\) 中一定存在元素可以表出 \(b_1,b_2,\dots, b_k\)，那么 \(x\) 可以由 >\(A\) 中元素表出，与事实不符。证毕。

再证明 \(A\) 中能被 \(A\) 中其它元素表出的元素一定不在 \(B\) 中。

反证法。若 \(x \in A\) 并且 \(x\) 能被 \(a_1,a_2,\dots,a_k\) 表出。设 \(x \in B\)。
因为 \(A\) 和 \(B\) 是等价的，所以 \(B\) 中元素可以表出 \(a_1,a_2,\dots,a_k\)，也就可以表出 \(x\)。与 \(B\) 中元素尽量少的事实不符。证毕。

因为以上两点，所以本题的答案就是 \(A\) 中不能被 \(A\) 中其它元素表出的元素的个数。证毕。

将 \(A\) 中元素从小到大排序，\(f_i\) 表示用一部分数能否表示出 \(i\)。

最小的元素一定不能被其它元素表示，所以用最小的元素去更新 \(f\) 数组，然后每次更新后可以判断出 \(A\) 中下一个元素能否被表示。不断更新即可。

Code

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define M 25001

int t, n, ans, a[101], f[M];

int main() {
    scanf("%d", &t);
    while (t--) {
        memset(f, 0, sizeof f);
        scanf("%d", &n), ans = n, f[0] = 1;
        for (int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d", &a[i]);
        std::sort(a + 1, a + n + 1);
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            if (f[a[i]]) --ans;
            else {
                for (int j = a[i]; j <= a[n]; ++j) {
                    f[j] |= f[j - a[i]];
                }
            }
        }
        printf("%d\n", ans);
    }
    return 0;
}