线性基学习记录

我对线性基的理解并不是很深...（其实是不怎么会）...学习的时候参照了ljh2000的博客。下面会提到线性基解决的问题，如何构造和合并，最基本的查询。

 

线性基可以解决的问题：求一些数的异或和最大，支持加入元素，插入一个数x的复杂度是logx，查询一次的复杂度也是log（查询指查询xor最大值或是一个数能否被异或出）。

线性基可以看成是把n个数a1,a2...an，映射到一个大小是log(max)的集合上。通过已经构造好的线性基可以xor出与原来数集xor出的值域相同。

构造线性基，插入的数是x，二进制下第i位的线性基是a[i]。从高到低逐位扫x，如果第i位是0就跳过不管；如果是1并且a[i]=0，那么就把当前x作为a[i]，否则就把x异或上这一位的线性基（x=x xor a[i]）。然后接着往后扫。

 

如果要查异或最大值，直接从高到低位贪心，如果异或上这一位的线性基可以使答案变大，就异或。（正确性显然？）

查询一个数x能否被异或出，从高到低位扫，如果x这一位是1，就异或上当前位的线性基，如果中途x变成了0，那就说明x可以被异或得到。（类似插入）

线性基合并就直接把两个线性基暴力合并（把其中一个线性基，当成是新的数字暴力插到另一个线性基就可以了，正确性显然...）

查询第k小，将k二进制拆分，k的当前位是1就异或对应位的线性基。那么第k大呢..？

刚刚想到第k大的第一想法竟然是不可做...首先考虑一共能异或出多少种数，一共能异或出2^n个不同的数，n是线性基不为0的个数。那么第k大就是第(2^n-k+1)小...问题解决...

 

好像有点空洞...马上就补道题2333...