二分图学习记录

二分图相关

现在才学这些东西好像有点晚了，证明也大概只有自己能看懂，所有内容来源于手写体+Nebo的自动识别，直接贴出来算是做个备份。

 

1.点覆盖集：无向图中选取一个点集，满足任意一条 边都与这个点集里的点相关联

最小点覆盖集=最大匹配

证明：先求出最大匹配，然后将所有的边分成 A:匹配边，B:未匹配边，对于任意的 ab ∈A, ac ∈B 那么选取 A 这个点，最后即为最大匹配

 

2.点独立集：无向图中选取一个点集，其中任意两个点不相连

最大点独立集 =顶点总数-最大匹配数

证明： 求出最大匹配，每个匹配删掉一个点，即为点独立集， 例如ab ac,删掉a，bc就成了独立的点，并不会出现 bd,如果有，那么会有另一条匹配边，可以用其他匹配边。

 

3.边覆盖集：无向图中选取一个边集，满足图中任意一个顶点都与边相连

最小边覆盖集= 顶点总数-最大匹配数

证明： 设一共有n个点，最大匹配数是m,没被匹配的点是a先选用最大匹配（一条边盖2个点），其余用一条边盖1个点，最小边覆盖即为 m+a 显然 2m+a=n, a = n-2m最小边覆盖就是n-m =顶点总数-最大匹配数

 

4.边独立集：无向图中选一个边集，使得任意两条边不相连

最大边独立集=最大匹配

证明：最大匹配的定义

 

5.路径覆盖：在有向图中找到若干路径，使之覆盖价有顶点并且一个顶点只被一条路径覆盖

有向无环图的最小路径覆盖=顶点总数最大匹配

证明：若有 a → b 的边，二分图就连一条 a → b 的 边每多匹配一对，路径条数就可以减少1，所以去做最大匹配即可