要心中有“数”——C语言初学者代码中的常见错误与瑕疵(8)
在 C语言初学者代码中的常见错误与瑕疵(7) 中，我给出的重构代码中存在BUG。这个BUG是在飞鸟_Asuka网友指出“是不是时间复杂度比较大”，并说他“第一眼看到我就想把它当成一个数学问题来做”之后，我又重新对问题进行了数学式的思考后发现的。
这个BUG源于在(1<=A,B<=1000)条件下对矩形个数的数量级心里没数。当时觉得这个题目的目的是考察穷举，由于题目限定了A、B的范围，所以结果应该不是很大。事实证明这种想法是一厢情愿。
通常情况下，我不喜欢用数学方法解决C语言编程问题。因为很多问题，一旦在数学上能够轻易解决，编写代码往往是索然无趣的，对学习和练习C语言几乎没有什么益处。譬如，求1+2+3+……+100，如果不知道或假装不知道数学解法，代码可能是这样的
#include <stdio.h> int main( void ) { int i , sum = 0 ; for ( i = 1 ; i <=100 ; i ++ ) { sum += i ; } printf("%d\n",sum); return 0; }
而若使用数学方法，代码则是
#include <stdio.h> int main( void ) { printf("%d\n", (1 + 100) * 100 / 2 ); return 0; }
前者，C语言和编程成分的含量很高，数学含量却很低；而后者数学含量很高，可C语言和编程成分的含量几乎为0。
从解决实际问题的角度来说，显然应该用后一种方法；而从学习C语言和练习编程的角度来说，则应该使用前一种方法。所以一个好的编程问题，应该是没有数学解的，至少应该没有显而易见、容易得到的数学解。否则，只是用C语言对公式做一个简单的翻译(这大概是FORTRAN语言的哲学)，编程的味道就全没有了，谭浩强的很多题目就是如此(参见：滥用变量综合症)。“矩形的个数”问题应该说还不是那么容易得到数学解的。
所以，在飞鸟_Asuka 网友说他“第一眼看到我就想把它当成一个数学问题来做”之后,我也尝试着用数学的方式思考了一下。我发现，在同一条直线上的n个不同的点一共可以构成(n-1)n/2条不同的线段，A*B的矩形相邻两边各有A+1和B+1个不同的点，因而可以分别构成(A+1)A/2和(B+1)B/2条不同的线段，这样构成的矩形的个数一共就是(A+1)A/2×(B+1)B/2个。当A和B取最大值1000时，结果显然不小于25×1010，而这个值显然大于231-1，甚至也大于232-1(多数编译器中 unsigned 类型所能表示的最大整数)。这样，原来的重构代码中用int类型作为结果的类型，显然错了。
我一向认为C语言程序员应该心中有“数”，即对表达式中的数据和结果有最起码的范围估计。没想到，这次由于刻意回避数学解法，却立刻遭到了违背信条的报应。正应验了Muphry's law所言：Anything that can go wrong, will go wrong。
冯诺依曼也认为程序员至少应该清楚计算过程中数据的数量级，为此他反对浮点数。与之相反，约翰.巴科斯则盲目乐观地发明了浮点数，很多程序员尽情地享受浮点数的方便，却由于盲目乐观屡屡被浮点数这种“有缺陷的抽象”所伤。更有甚至，很多程序员连浮点数最基本的原理都不懂，竟然能写出k=sqrt(n) 这样狗屁不通的句子。（参见：似是而非的k=sqrt(n)）
回过头来再谈我代码的BUG。这个BUG的另一个教训是没有进行比较充分的测试，如果测试一下边界情况可能不难发现这个BUG。后来我又重新测试了一下，发现程序运行时间比较长，这说明飞鸟_Asuka 网友指出“是不是时间复杂度比较大”的问题也是存在的。但当时为了算法叙述的方便，就没有按照下面的方法写count()函数：
int count( int A , int B ) { int x1 , y1 ;//第一个点的坐标 int x2 , y2 ;//第二个点的坐标 int num = 0 ; for ( x1 = 0 ; x1 < B ; x1 ++ )// for ( x1 = 0 ; x1 <= B ; x1 ++ ) for ( y1 = 0 ; y1 < A ; y1 ++ )// for ( y1 = 0 ; y1 <= A ; y1 ++ )//穷举第一个点的各种可能 for ( x2 = x1 + 1 ; x2 <= B ; x2 ++ )// for ( x2 = 0 ; x2 <= B ; x2 ++ ) for ( y2 = y1 + 1 ; y2 <= A ; y2 ++ )// for ( y2 = 0 ; y2 <= A ; y2 ++ )//穷举第二个点的各种可能 num ++ ; // { // if ( x1 < x2 && y1 < y2 ) // num ++ ; // } return num ; }
如果写成这种形式，不难发现第二层循环与第三层是可以对调的，对调后为：
for ( x1 = 0 ; x1 < B ; x1 ++ ) for ( x2 = x1 + 1 ; x2 <= B ; x2 ++ ) for ( y1 = 0 ; y1 < A ; y1 ++ ) for ( y2 = y1 + 1 ; y2 <= A ; y2 ++ ) num ++ ;
这时应该能够看出，最内两层循环次数为 A + A-1 + A-2 +……+1，最外两层循环的循环次数为B + B-1 + B-2 +……+1，因而结果可以直接得到，即(A+1)A/2*(B+1)B/2。
算法问题解决了，又产生了新的问题，那就是如何表示这么大的整数，这是一个数据结构的问题。（或许，这才是题目的本意？）
办法之一就是使用表示范围更大的整数类型，例如C99中的long long int类型。
如果编译器不支持C99也没有表示范围更大的整数类型，那就只有自己着手构造新的数据结构了。
矩形个数的最大值大约为25×1010，这并不是一个很大的数，一个int不够，那就用两个好了。这里把存储大数的数据结构设计为一数组，
typedef int BIG_NUM[2] ;
数组的第0个元素存储低6位，第1个元素存储高位。存储低6位的原因是避免乘法运算时溢出(乘数不超过1001，与一个6十进制整数相乘不超过109，在int类型的表示范围之内)。
通过调用
BIG_NUM num ;
count( num , A , B );
将结果写到num中。
count()函数的实现：
void count( BIG_NUM m , int A , int B ) { m[0] = 1 ; m[1] = 0 ; mul_sum( m , A );//将1+2+……+A的结果乘入m mul_sum( m , B );//将1+2+……+B的结果乘入m }
由于结果是累乘得到的，所以初始化为1。为防止溢出，只能
void mul_sum( BIG_NUM m , int n ) { int t1 = n % 2 == 0 ? n / 2 : n , t2 = n % 2 != 0 ? (n + 1) / 2 : n + 1 ; mul( m , t1 ); mul( m , t2 ); }
小心翼翼地一个个地乘(每个乘数都不得超过1001)。t1，t2这两个变量是为了回避BIG_NUM类型的除法运算。
void mul( BIG_NUM m , int n ) { m[0] *= n ; m[1] *= n ; m[1] += m[0]/1000000;//进位 m[0] %= 1000000; }
每乘以一个数，立刻就处理进位问题。
最后还要考虑如何输出：
void output( BIG_NUM m ) { if ( m[1] == 0 ) { printf( "%d\n" , m[0] ); return ; } printf( "%d" , m[1] ); printf( "%06d\n" , m[0] ); }
这里的"%06"是为了保证低位不够6位时仍能正确输出。
完整的代码如下：
/* 矩形的个数 在一个3*2的矩形中，可以找到6个1*1的矩形，4个2*1的矩形3个1*2的矩形， 2个2*2的矩形，2个3*1的矩形和1个3*2的矩形，总共18个矩形。 给出A，B,计算可以从中找到多少个矩形。 输入： 本题有多组输入数据（<10000），你必须处理到EOF为止 输入2个整数A,B(1<=A,B<=1000) 输出： 输出找到的矩形数。 样例： 输入： 1 2 3 2 输出： 3 18 作者：薛非 出处：http://www.cnblogs.com/pmer/ “C语言初学者代码中的常见错误与瑕疵”系列博文 */ #include <stdio.h>
typedef int BIG_NUM[2] ; void count( BIG_NUM , int , int ); void mul_sum( BIG_NUM , int ); void mul( BIG_NUM , int ); void output( BIG_NUM ); #define POW 1000000 #define WID 6 int main( void ) { int A , B ; while ( printf( "输入2个整数A,B(1<=A,B<=1000)\n" ), scanf( "%d%d" , &A , &B )!= EOF ) { BIG_NUM num ; count( num , A , B ); output( num ); } return 0; } void output( BIG_NUM m ) { if ( m[1] == 0 ) { printf( "%d\n" , m[0] ); return ; } printf( "%d" , m[1] ); printf( "%0*d\n" , WID , m[0] ); } void mul( BIG_NUM m , int n ) { m[0] *= n ; m[1] *= n ; m[1] += m[0]/POW;//进位 m[0] %= POW; } void count( BIG_NUM m , int A , int B ) { m[0] = 1 ; m[1] = 0 ; mul_sum( m , A );//将1+2+……+A的结果乘入m mul_sum( m , B );//将1+2+……+B的结果乘入m } void mul_sum( BIG_NUM m , int n ) { int t1 = n % 2 == 0 ? n / 2 : n , t2 = n % 2 != 0 ? (n + 1) / 2 : n + 1 ; mul( m , t1 ); mul( m , t2 ); }
写的有点丑。
