置换群的快速幂运算

最近看了潘震皓的《置换群快速幂运算 研究与探讨》，总结一下。具体推导过程参见原文。

1、置换群的乘方：求T^k(k为正整数)

对于置换T，用数组a[i][]表示置换T的循环，约定a[i][0]为该循环内最小的数，且l[i]表示对应循环的长度，记。：

对每个循环，若l[i]是k的倍数，则乘方之后分裂为k个循环，并且每个循环分别是循环a[i]中下标j mod k = 0, 1, 2....的元素按顺序连接。

对每个循环，若gcd(l[i], k) = 1，则乘方之后仍然是一个循环，设原循环为数组a[i]，长度为l[i]，乘方之后为a[i]'，则a[i]'[j] = a[i][k*j mod l[i]]。

对每个循环，若不为上面两种情况，则乘方之后为gcd(l[i], k)个循环的乘积，每个循环分别是原循环a[i]中下标j mod gcd(l[i], k) = 0, 1, 2...的元素的连接。

　　

2、置换群的开方：求T^(1/k)(k为正整数)

a.若置换为单循环置换，且循环长度与指数k互质，则由上面第二种情况的公式可以逆推得到。

b.若置换为单循环置换，但循环长度与指数k不互质，则由上面的结论可以知道，这是不能开方的。

c.若置换不为单循环置换，则对l[i]中任意一个有执行以下操作：1.令m = gcd(i[i], k)；2.选择n*m份长度均为l[i]的循环进行合并，其中n为整数且n*m为k的约数；3.将形成的大循环开k/m次方。

 

该类型的题：

1、POJ 1721 CARDS，题解http://www.cnblogs.com/plumrain/p/permutation.html