构造矩阵解决线性递推问题

　　对于”把一个向量v变成另一个向量v'，并且v'的每一个分量都是v的各个分量的线性组合”这样的问题，一般都可以考虑用矩阵乘法来描述他们的变化关系。而用矩阵乘法的好处在于，可以使用快速幂来优化时间复杂度，将原本O(n)的递推优化到O(logn)。

　　

　　解决这类问题，最简单也最常见的例子莫过于求Fibonacci数列中的第n项，比如POJ 3070 Fibonacci。并且，题目已经构造好了转化矩阵，见下图。

　　　　　　　　　　　　　　 .

　　注意，这样的方法只能求出最标准的Fibonacci数列的第n项，即1,1,2,3,5...如果F(0)和F(1)改变，还需要对这个等式稍做变动。这样的题，比如HDU 3221 Brute-force Algorithm，题解见http://www.cnblogs.com/plumrain/p/matrix.html。

 

　　Fibonacci数列的递推公式为f(n) = f(n-1) + f(n-2)，但是，如果递推公式的系数稍作改变呢？对数列d(n) = d(n-1)*p + d(n-2)*q。

　　　　　　　　　　　　　　图中，左上的矩阵记为D(1)，右上的矩阵记为D(n)，右下的矩阵记为cnt。

　　则D(n) = D(1) * cnt^(n-1)。

　　这个公式的应用，比如POJ 3744 Scout YYF I，题解为http://www.cnblogs.com/plumrain/p/maht_probalbility.html。

 

　　当然，很多时候线性递推式都并不是只有只含有f(n-1)和f(n-2)两项的。当f(n) = a(1)*f(n-1) + a(2)*f(n-2) +...+a(d)*f(n-d)的时候，公式如下。

　　记F(n)为，A为，则有F(n) = F(n-1) * A。

　　题目为UVa 10870，题解见http://www.cnblogs.com/plumrain/p/matrix.html，解法参考刘汝佳出版的《算法竞赛入门经典训练指南》。