[小结论]生成树

1、问题：对一个图，要求某一个生成树，使得该生成树第k大的边最小。(来源于POJ 2349)

结论：对图做一遍最小生成树，所求边即为最小生成树中第k大的边。

证法：考虑求MST的Kruskal算法。

　　在使用Kruskal求MST的过程中，从小权边到大权边遍历所有边，遍历到每一条边的时候检查一下若将它加入生成树是否会形成环，若不形成则将它加入生成树，这样遍历完所有边之后就能求出最小生成树。

　　若存在一个生成树T'，其第k大的边比MST(记为T)中第k大的边权值小。记T'中第k大的边为l1，T中第k大的边为l2。图中所有边按小到大排序为a1,a2...am。不妨设l1为ai，l2为aj，则i < j。设遍历到ai的时候，T'的边集为为A'，T的边集为A，则由Kruskal算法的步骤可知，|A'| <= |A|，否则一定会出现环。因为，边集A不要某条边的原因就是要了它会形成环，所以如果向A中加一条边就一定要删一条边才可能维持它是森林，所以|A'| <= |A|。

　　这样的话，若l1为T'中第k大的边，则l2至少为T中第(k+1)大的边，矛盾。　　

 

2、在最小生成树中加入一条新边(边的两个顶点都在最小生成树中)，一定会形成一个环。如果把环上的最长边去掉，就可以得到新的最小生成树。