有趣的数学题

问题

1、圆周上有n个点，最多能将圆分为多少个部分？选自World Finals 2008, LA 4119的题面。

 

 

 

 

解答

1、解法由清华大学数院WY大神提供。

设所求为f(n)。称圆周上的点为周点，圆内的点为交点。

考察第k个点。添加第k个点后，新增k-1条弦，设新增a[k]个交点。观察这k-1条弦中的任意一条，设它与原先已有的弦产生b个交点(即便它通过某两弦的交点，计数无碍，因为过该交点的边中不可能有两条都过第k个点；它与相邻的弦产生0个交点，计数无碍)。这b个交点将该弦分为b+1段，每一段都使圆内部分数+1。所以该弦造成新增b+1部分，这k-1条弦(即第k个点)造成新增Σ(b+1) = a[k] + k-1。

所以f(n) = f(0) + Σ(a[k] + k - 1) = C(n, 2) + Σa[k]。

而Σa[k]即为交点数。为了使圆内部分数最多，就要使交点数最多，就要保证每两个交点唯一对应一条弦，所以Σa[k] = C(n, 4)。

由于圆本身就有一个部分，所以f(0) = 1。

所以答案为f(n) = C(n, 2) + C(n, 4) + 1 = (n^4 - 6*n^3 + 23*n^2 - 18*n + 24) / 24。