杂题选做【S-C1】

【S-C1】是啥意思？？

01. CF1858E2 Rollbacks (Hard Version)

维护一个初始为空的序列 $a$，支持以下操作：

• $\mathtt{\text{+ }}x$：在序列末端插入 $x$；
• $\mathtt{\text{- }}k$：在序列末端删除 $k$ 个数（$k$ 不超过当前序列长度）；
• $\mathtt{\text{?}}$：查询序列中不同的数字个数；
• $\mathtt{\text{!}}$：撤回前一个 $\mathtt{\text{+}}/\mathtt{\text{-}}$ 操作。

$q$ 次操作，强制在线，$1\le q,x\le {10}^6$，询问操作不超过 ${10}^5$。

解法

垃圾 *2600。

经典地，我们用 set 维护所有数字的出现的所有位置，更新时只需要查询其首位即可。

这样我们可以轻松实现 $\mathtt{\text{+}}$ 操作。

为了实现 $\mathtt{\text{-}}$ 操作，我们引入序列 $A$，使得序列 $A$ 的前 $l$ 位恰好为序列 $a$（$l$ 为序列 $a$ 此时的长度）。这样一来，我们更新时直接将 $l$ 更改为 $l-k$ 即可。

这样做同样是为了方便进行 $\mathtt{\text{!}}$ 操作。因为我们实际上保留了 $1\sim l_{max}$ 的所有信息，足以进行回溯。

对于 $\mathtt{\text{!}}$ 操作，我们使用 stack 存储所有操作，并尝试逆向地进行还原，具体情况与上面的 $\mathtt{\text{+}}/\mathtt{\text{-}}$ 操作思路一致。

特别地，对于 $\mathtt{\text{+}}$ 操作，我们需要存储原来的 $A_{l^{\prime }}$ 而不是 $x$。这是容易理解的。

至于答案的更新，我们在所有元素第一次出现的位置标记为 $1$，这个是已经维护过的。

那么 $\mathtt{\text{?}}$ 操作只需要输出该数组在 $[1,l]$ 上的区间和即可。

至此，我们需要一个可以支持单点修改、查询区间和的数据结构。拉一个树状数组即可。

时间复杂度 $O(q\log q)$。

https://codeforces.com/contest/1858/submission/219045104

考虑优化，逐个解决瓶颈：

• 树状数组：可以用前缀和替代。容易发现是可行的；
• 维护各个元素出现的位置：我们发现改变一个元素第一次出现的位置，必然伴随着一个当前已知位置该元素的更新或该元素的彻底删除。据此可以只用一个数组 $pos$ 代替上述题解中提出的 set 进行维护。

据此，我们得到时间复杂度 $O(q)$ 的做法。代码从略。

02. CF1804F Approximate Diameter

给定一个 $n$ 个点 $m$ 条边的初始无向图，有 $q$ 次更新，每次更新向图中添加一条边。设 $d(G_i)$ 代表加入 $i$ 条边后的图中两点之间的最大距离，你需要输出 $q+1$ 个整数 $a_0,a_1,\dots ,a_q$，满足 $\lceil {\displaystyle \frac{d(G_i)}{2}}\rceil \le a_i\le 2\cdot d(G_i)$。

$n,m,q\le {10}^5$，图连通。

解法

牛逼 *2700。

考虑一个性质，以某个点为端点的最长路径长度 $s$ 满足

$$\lceil {\displaystyle \frac{d(G_i)}{2}}\rceil \le s\le d(G_i)$$

证明从略。

但是发现这个比要求的更紧。考虑怎么利用这个 $2\cdot d(G_i)$。

显然地，我们考虑二分某个答案什么时候失效，此时我们将该答案除以 $2$ 即可。这是可行的，因为这个一眼单调。

二分枚举端点再套枚举答案即可，时间复杂度 $O(n{\log }^{2}n)$。

https://codeforces.com/contest/1804/submission/219393324

注意我们钦点的 dijkstra 算法别写丑，不然无法通过。

03. CF992E Nastya and King-Shamans

给定序列 $a$，维护两种操作：

• 单点将 $a_i\to x$；
• 查询 $\sum _{i=1}^n[(\sum _{j=1}^{i-1}{a}_j)=a_i]$。

$1\le n,q\le 2\times {10}^5$，$0\le a\le {10}^9$。

解法

还不错的 *2500。

考虑一个性质：答案最多为 $\log n$。

证明从略。我们考虑直接拉线段树维护然后暴力遍历即可找到答案。

时间复杂度 $O(q{\log }^{2}n)$。

https://codeforces.com/contest/992/submission/219414380

04. CF825G Tree Queries

一棵树有 $n$ 个节点，初始均为白色，有两种操作：

• $\mathtt{\text{1 }}x$：把节点 $x$ 染为黑色；
• $\mathtt{\text{2 }}x$：查询 $x$ 到树上任意一个黑色节点的简单路径上的编号最小的节点的编号。

保证第一个操作为染色操作，强制在线。$3\le n\le {10}^6$，$1\le q\le {10}^6$。

解法

小清新 *2500！

首先，显然地，为了方便维护，我们以第一次染色的节点 $t$ 为根 dfs 一遍以求出所有节点到 $t$ 的简单路径上的编号最小的节点的编号，即数组 $a$。

然后画个图可以理解：

• 对于染色操作，将目前维护的一个答案 $ans\leftarrow min(ans,a_x)$，可以证明这是正确的；
• 对于询问操作，我们输出 $min(ans,a_x)$ 即可。

这是因为，我们的对于不同 $t$ 的子树间的路径 $u\to v$，有 $u\to t\to v$ 即为其简单路径。而对于子树内的路径，可以用 $u\to t,v\to t$ 覆盖整个路径。

至此问题得到 $O(n)$ 解决。

https://codeforces.com/contest/825/submission/219512635

05. CF1503D Flip the Cards

你有 $n$ 张牌，第 $i$ 张牌的正面有整数 $a_i$，背面有整数 $b_i$。所有 $1$ 到 $2n$ 的整数都出现过正好一次。

我们认为这 $n$ 张牌是好的当且仅当 $a_i$ 升序，$b_i$ 降序。

可以进行下面的操作：

• 交换 $a_i,b_i$。
• 随意重排这 $n$ 张牌。

求如果要使这 $n$ 张牌变成好的最少需要翻几次牌，或报告无解。

解法

牛逼 *2600。可惜放了 $\log$ 过。

我们考虑到，若存在一个 $i$ 使得 $a_i,b_i\le n$，则必然无解。

于是考虑将所有牌变成 $a_i<b_i$ 的情况，则必然有 $a_i\le n,b_i>n$。于是设 $f(a_i)=b_i$。

下面研究 $f(i)$。发现当且仅当 $f(1\dots n)$ 可以被分为两个单调递减子序列使有解。

在 $\underset{j=1}{\overset{i}{min}}\{a_j\}>\underset{j=i+1}{\overset{n}{max}}\{a_j\}$ 处断点分段处理最小值即可。

时间复杂度 $O(n)$，远超 $\log$ 且更巧妙。

同时注意到没必要管顺序。

https://codeforces.com/contest/1503/submission/219536981

06. CF1646F Playing Around the Table

有 $n$ 个人坐成一个圈，每个人手上有 $n$ 张麻将，麻将上是 $1$ 萬到 $n$ 萬，每次可以让每个人同时掏出一张麻将给下一个人，构造一组方案使得第 $i$ 个人能够做成「$i$ 萬一色」。

要求，操作次数不超过 $n^2-n$；$1\le n\le 100$。

解法

萌萌 *2900。

我们考虑到，为了方便处理，设计一个过渡态「一气通贯」使所有情况达到统一。

可以证明，初态 $\to$「一气通贯」$\to$「$i$ 萬一色」这一变换中，第一步的操作次数不超过 $n(n-1)/2$，第二步的操作次数为 $n(n-1)/2$。

下面，我们证明第一个。发现离「一气通贯」最远的状态是每个人均有一个「$j$ 萬一色」，证毕。

https://codeforces.com/contest/1646/submission/219623330

感觉还是比较难想的，所以场上才仅 3 人通过。

07. CF802H Fake News (medium)

构造字符串 $s,p$，使字符串 $s$ 的为 $p$ 的子串恰有 $n(1\le n\le {10}^6)$ 个。

解法

萌萌 *2200！感觉思路比较牛逼。

我首先想到了 CF1368B Codeforces Subsequences，不同的是，这道题是至少 $n$ 个。

一个朴素的想法是，对于恰好有 $k$ 个子串的情况 $(s,p)$，我们可以实现 $k\to 2k$。

具体地，任取一个新字符 $c$，令 $s^{\prime }=scc$，$p^{\prime }=pc$ 即可（这里直接用字符串拼接表示了）。

但是我们不能实现 $k\to k+1$。这是很困难的。否则我们可以直接二进制拆分 $n$ 解决。

考虑另一个思路，假设对于恰好有 $k$ 个子串的情况 $(s,p)$，$s$ 可以被表示为 $pu$（$u$ 也是一个字符串），任取一个新字符 $c$，那么我们可以实现

• $k\to 2k+1$：令 $s^{\prime }=pcucc$，$p^{\prime }=pc$ 即可；
• $k\to 2k+2$：令 $s^{\prime }=pccucc$，$p^{\prime }=pc$ 即可。

这之后我们均直接可以更新 $u^{\prime }$。

于是我们递归地解决这个问题即可。考虑每次处理 $x$ 时，先解决 $\lfloor \frac{x-1}{2}\rfloor$ 时的情况，再回溯解决。容易发现这是合理的。

边界是 $x=1,2$。这个也是平凡的，只需要使 $p=\mathtt{\text{a}}$ 即可。

这个是很对的，不考虑 string 类的复杂度是 $O(\log n)$。由于 $2^{26}>{10}^6$，我们可以仅用小写字母解决本题。

https://codeforces.com/contest/802/submission/219735685