P1006 传纸条

题目描述 
小渊和小轩是好朋友也是同班同学，他们在一起总有谈不完的话题。一次素质拓展活动中，班上同学安排做成一个m行n列的矩阵，而小渊和小轩被安排在矩阵对角线的两端，因此，他们就无法直接交谈了。幸运的是，他们可以通过传纸条来进行交流。纸条要经由许多同学传到对方手里，小渊坐在矩阵的左上角，坐标(1,1)，小轩坐在矩阵的右下角，坐标(m,n)。从小渊传到小轩的纸条只可以向下或者向右传递，从小轩传给小渊的纸条只可以向上或者向左传递。

在活动进行中，小渊希望给小轩传递一张纸条，同时希望小轩给他回复。班里每个同学都可以帮他们传递，但只会帮他们一次，也就是说如果此人在小渊递给小轩纸条的时候帮忙，那么在小轩递给小渊的时候就不会再帮忙。反之亦然。

还有一件事情需要注意，全班每个同学愿意帮忙的好感度有高有低（注意：小渊和小轩的好心程度没有定义，输入时用0表示），可以用一个0-100的自然数来表示，数越大表示越好心。小渊和小轩希望尽可能找好心程度高的同学来帮忙传纸条，即找到来回两条传递路径，使得这两条路径上同学的好心程度只和最大。现在，请你帮助小渊和小轩找到这样的两条路径。

输入输出格式 
输入格式： 
第一行有2个用空格隔开的整数m和n，表示班里有m行n列（1<=m,n<=50）。

接下来的m行是一个m*n的矩阵，矩阵中第i行j列的整数表示坐在第i行j列的学生的好心程度。每行的n个整数之间用空格隔开。

输出格式： 
共一行，包含一个整数，表示来回两条路上参与传递纸条的学生的好心程度之和的最大值。

输入输出样例 
输入样例#1： 
3 3 
0 3 9 
2 8 5 
5 7 0 
输出样例#1： 
34 
说明 
【限制】

30%的数据满足：1<=m,n<=10

100%的数据满足：1<=m,n<=50

解析：

 

四维dp

这里可以等价看成从(1,1)传两条路径到(m,n),思路就应该清晰点

dp[i][j][k][l]代表到达(i,j),(k,l)两个位置时的最大值

四种方式来更新

状态转移方程：dp[i][j][k][l]=max(dp[i-1][j][k-1][l],dp[i-1][j][k][l-1],dp[i][j-1][k-1][l],dp[i][j-1][k][l-1])+a[i][j]+a[k][l];

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 60
#define inf 0x3f3f3f3f
int dp[maxn][maxn][maxn][maxn];
int m,n;
int a[maxn][maxn];

int main()
{
    cin>>m>>n;
    for(int i=1; i<=m; i++)
        for(int j=1; j<=n; j++)
            cin>>a[i][j];
    memset(dp,-1,sizeof(dp));
    dp[1][1][1][1]=0;

    //这里我让(i,j)永远在(1,1)-（m,n）这条对角线左下方， （k,l）也就始终在对角线右上方
    //所以（i,j）先向下走，（k,l）先向右走

    for(int i=1; i<=m; i++)
        for(int j=1; j<=n-1; j++)  
            for(int k=1; k<=m-1; k++)
                for(int l=j+1; l<=n; l++) //为了防止重合
                    if(i!=k)
                        dp[i][j][k][l]=max(dp[i-1][j][k-1][l],max(dp[i-1][j][k][l-1],max(dp[i][j-1][k-1][l],dp[i][j-1][k][l-1])))+a[i][j]+a[k][l];

//注意最后这里，因为最开始一定是一人向下，一人向右，两人总步数相同，x,y坐标一定存在差值
    cout<<dp[m][n-1][m-1][n];
    return 0;
}

三维dp

dp[sum][i][j]代表：纵横坐标之和sum,一条线路的纵坐标为i,另一条线路纵坐标为j

这种三维做法是抓住的两者恒定这个关系，很巧妙

dp[sum][i][j]=max(dp[sum-1][i-1][j],dp[sum-1][i][j],dp[sum-1][i-1][j-1],dp[sum-1][i][j-1])+a[i][sum-i]+a[j][sum-j];

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 60
#define inf 0x3f3f3f3f

int dp[130][maxn][maxn];
int m,n;
int a[maxn][maxn];

int main()
{
    cin>>m>>n;
    for(int i=1; i<=m; i++)
        for(int j=1; j<=n; j++)
            cin>>a[i][j];
    memset(dp,-1,sizeof(dp));
    dp[2][1][1]=0;
    for(int k=3; k<=m+n-1; k++)
        for(int i=1; i<=k; i++) //i路线先向右走
            for(int j=i+1; j<=k; j++) //防止重合，j路线先向下走
                if(i!=j)
                dp[k][i][j]=max(dp[k-1][i-1][j],max(dp[k-1][i][j],max(dp[k-1][i-1][j-1],dp[k-1][i][j-1])))+a[i][k-i]+a[j][k-j];

    cout<<dp[m+n-1][m-1][m];
    return 0;
}