第一型曲面积分
直径
直径趋于零则面积一定趋于零
但面积趋于零，有可能出现长条的情况，不满足密度近似均匀和形体近似平面
定义
分（割极细，以至于密度和形体在面元内部均）匀（，随后求）和（，在这种切分下整体呈现出稳定的极限值）
性质（略）
线性性质，分片光滑的可累加性
（重要）奇偶性
计算
完全可以认为是第一类曲线积分的形式上的直接拓展。
\[\lim\limits_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^{n}f(x,y,z)\Delta S_i\\=\lim\limits_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^nf(x,y,g(x,y))\sqrt{1+g_x^2(x_i,y_i)+g_y^2(x_i,y^i)}\,\mathrm d\sigma\\
=\iint\limits_Df(x,y,g(x,y))\sqrt{1+g_x^2+g_y^2}\,\mathrm d\sigma
\]
最后一项是一个二重积分。
不难看出线面积分之间的关系。我们只是将一次一元积分转化成(二元的)二重积分
另外可以利用参数方程进行计算。（利用Jacob式可得公式）
作变量代换：
\[\mathrm dS=\frac{\mathrm d\sigma}{|\cos\gamma|}=\frac{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}{|C|}\mathrm d\sigma=\sqrt{EG-F^2}\,\mathrm du\,\mathrm dv
\]
其中\(A,B,C\)是\(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\)的系数，分别为\(\frac{D(y,z)}{D(u,v)},\frac{D(x,z)}{D(u,v)},\frac{D(x,y)}{D(u,v)}\)
为什么会出现这样的几个Jacob式呢？我们可以拿\(\overrightarrow{i}\)为例，垂直于\(x\)轴的变化是在平行于\(yOz\)的某个面中，我们只有\(y,z\)两个变量，对它们进行变换，利用叉积\(\mathrm dx\,\mathrm dy=|(x_1-x_0)(y_3-y_0)-(x_3-x_0)(y_1-y_0)|\approx|\frac{\partial x}{\partial \xi}\frac{\partial y}{\partial\eta}-\frac{\partial x}{\partial\eta}\frac{\partial y}{\partial\xi}|=|J_3|\,\mathrm d\xi\mathrm d\eta\)，类似可得其他两个Jacob式。
方向余弦是在这个2to3映射空间中定义的，每个维度上都有一定的转化尺度，用Jacob式衡量。方向余弦的大小不仅有几何意义，还可以反映某个转化尺度的大小。
某个几何面上的微元除以方向余弦，就可以表示成这个几何面和S曲面的关系，我们还可以进一步利用这个几何面和映射虚面上微元\(\mathrm du\,\mathrm dv\)的关系，可知这个大根式即可转化为虚面上的。
简要总结：S，xOz，xOy，yOz都是几何面。我们需要利用Jacob式衡量的，都与换元的转换尺度有关。
第二型曲面积分
双侧曲面
返回起始点时法向量指向始终不变
性质
- 有向性（重要）所以慎用奇偶性
- 线性性质
- 分片曲面同向可加性
计算（重要）
转化成仅有常数+几何意义可解的问题是少见但有效的。
通常用坐标法求解。代入转化为二重积分。
一般转化方法：\(\iint\limits_\Sigma R(x,y,z)\,\mathrm dx\,\mathrm dy=\iint\limits_DR[x,y,z(x,y)]\,\mathrm dx\,\mathrm dy\)
公式总结如下
\[\iint\limits_S\overrightarrow{F}\cdot\overrightarrow{n}\,\mathrm dS\\
\iint\limits_DP\,\mathrm dy\,\mathrm dz+Q\,\mathrm dz\,\mathrm dx+R\,\mathrm dx\,\mathrm dy\\
\pm\iint\limits_DP(-f_x)+Q(-f_y)+R\,\mathrm d\sigma...(\,\mathrm dx\,\mathrm dy)
\\ \pm\iint\limits_D\overrightarrow{F}(u,v)\frac{r_u\times r_v}{|r_u\times r_v|}\sqrt{EG-F^2}\,\mathrm du\,\mathrm dv
\]
其中\(\left|r_u\times r_v\right|=\sqrt{EG-F^2}\)
这里的\(r_u,r_v\)，\(r\)是一个二维\((u,v)\)映射到\((x,y,z)\)的三维曲面的两个偏导数。分别都是一个切向量。他们的叉乘方向与法向量相同。单位化之后即得\(\overrightarrow{n}\)
总结：两型面和重积分的关系
\[\iint\limits_\Sigma R(x,y,z)\,\mathrm dx\,\mathrm dy=\iint\limits_{D_{xy}}R[x,y,z(x,y)]\,\mathrm dx\,\mathrm dy
\]
从而二型曲面积分可以有如下的转化：
\[\iint\limits_\Sigma\overrightarrow{F}\cdot\mathrm d\overrightarrow{S}=\iint\limits_\Sigma \overrightarrow{F}\cdot\overrightarrow{n}\,\mathrm dS\\=\iint\limits_\Sigma(P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)\,\mathrm dS\\=\iint\limits_D P\,\mathrm dy\,\mathrm dz+Q\,\mathrm dz\,\mathrm dx+R\,\mathrm dx\,\mathrm dy
\]
二型曲面积分可以通过投影的方式转化成三个一型面相加。
经过方向余弦代入，我们的结论也可以写成：
\[\iint\limits_\Sigma(P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)\\
=\iint\limits_D\left(P(-f_x)+Q(-f_y)+R\,\right)\mathrm dx\,\mathrm dy
\]
这个统一区域的形式，看起来会好用很多！
几何意义其实不用考虑过多，在某些程度上说，这是一个由于偏导数连续引起的代数结果。几何意义可可以理解成是法向量的朝向的转换。
这样我们就建立了一二型面之间的关系
Gauss公式和Stokes公式
Gauss公式
建立二型面和三重积分的关系
物理意义：散度（由于法向量朝外从而对应-Q）
<整个曲面的散度之和叫做通量，对比Gauss定理的一般形式和积分形式>
各种“散度”
N-L公式(0D-1D)
\[\int_a^bf(x)\,\mathrm dx=F(x)\Big|_a^b
\]
平面场散度(1D-2D)
\[\oint\limits_{L^+}\overrightarrow{F}\cdot\overrightarrow{n}\,\mathrm d\ell=\iint\limits_D\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}\right)\,\mathrm dx\,\mathrm dy
\]
Gauss公式(2D-3D)(这里不支持二重闭面积分)
\[\iint\limits_{S^+}(P,Q,R)\cdot\overrightarrow{n}\,\mathrm dS=\iiint\limits_\Omega\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)\,\mathrm dV
\]
其实Green公式和Stokes公式也可以有类似的观点。
Stokes公式
是Green公式的高维形式。
\[\oint\limits_{L^+}P\,\mathrm dx+Q\,\mathrm dy+R\,\mathrm dz=\iint\limits_{S^+}\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)\,\mathrm dy\,\mathrm dz+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}
\right)\,\mathrm dz\,\mathrm dx+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,\mathrm dx\,\mathrm dy
\]
轮换，借助三阶行列式记忆。证明见北大P116，D124
外微分与统一
一阶外微分
从普通的微分和全微分——到
外微分-恰当微分
统一公式（重要）
\[\int_{\partial \Omega}\omega=\int_\Omega\,\mathrm d\omega
\]
外微分的计算（掌握即可）
\[\mathrm d \omega(\overrightarrow{x_i})=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\frac{\partial f_i}{\partial x_j}x_i
\]
切线法平面、切平面法线
切线是弦线的极限。
\[\left(\frac{x(t_0+\Delta x)-x(t_0)}{\Delta x},\frac{y(t_0+\Delta y)-y(t_0)}{\Delta y}, \frac{z(t_0+\Delta z)-z(t_0)}{\Delta z}\right)=(x',y',z')\xlongequal{同乘dt}(\mathrm dx,\mathrm dy,\mathrm dz)
\]
切线方程利用点向式表示。
随后，法平面可以利用点法式写出（切线是这个平面的法线）
对原函数\(F(x, y,z)\)全微分，可以得到\((F_x,F_y,F_z)\cdot(\mathrm dx,\mathrm dy,\mathrm dz)=0\)，第二个向量是任意切向量。从而可以得到平面的法向量为\((F'_x, F'_y, F'_z)\)。
然后利用点法式方程可以写出切平面\(F'_x(x-x_0)+F'_y(y-y_0)+F'_z(z-z_0)\)
常见易错点总结
上下限
参数方程
对于过原点的圆，是\((-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})\)
对于双扭线是\((-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4})\)
对于包含原点的封闭图形是\((0, 2\pi)\)
重积分
要注意几重之间的制约关系
