Part 4 不定积分和定积分

不定积分

概念的引入是十分自然的：
设\(F(x)\)是\(f(x)\)的原函数，则

\[\int f(x)\mathrm dx=F(x)+C \]

\[(\int f(x)\mathrm dx)'=(F(x)+C)'=f(x) \]

基本的不定积分

下面我们把一众导数公式倒过来写。

\[\begin{aligned} &1.\int0\,\mathrm dx=C\\ &2.\int1\,\mathrm dx=\int \mathrm dx=x+C\\ &3.\int x^a\,\mathrm dx=\frac{1}{a+1}x^{a+1}+C(a\not=-1)\\ &4.\int x^{-1}\,\mathrm dx=\int\frac{1}{x}\mathrm dx=\ln |x|+C\\ &5.\int a^x\,\mathrm dx=\frac{a^x}{\ln a}+C\\ &6.\int e^x\,\mathrm dx=e^x+C\\ &7.\int \cos x\,\mathrm dx=\sin x+C\\ &8.\int \sin x\,\mathrm dx=-\cos x+C\\ &9.\int \sec^2x\,\mathrm dx=\tan x+C\\ &10.\int \csc^2x\,\mathrm dx=-\cot x+C\\ &11.\int\sec x\tan x\,\mathrm dx=\sec x+C\\ &12.\int\csc x\cot x\,\mathrm dx=-\csc x+C\\ &13.\int\frac{1}{1+x^2}\,\mathrm dx=\arctan x+C=-\mathrm{arccot} x+C_1\\ &14.\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm dx=\arcsin x+C=-\arccos x+C_1\\ &15.\int\cosh x\,\mathrm dx=\int\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}=\sinh x+C\\ &16.\int\sinh x\,\mathrm dx=\int\frac{e^x+e^{-x}}{2}=\cosh x+C\\ \end{aligned}\]

说明：
4：如果写成\(\ln x+C\)，那么显然原函数的定义域比被积函数要小。由于原函数定义域中部分点不可导，被积函数定义域一定小于原函数，故而这其中肯定有问题。
13：\(\arctan x+\mathrm{arccot}x=\frac{\pi}{2}\)
从这里我们可以有几点很有益的理解：

1. （不定积分正确的量标）两边求导后等式成立即可。
   • 对这个式子，我们求导后知道，左边等于一个常数，然后代入特值即可。
2. 此处的\(C\)是可变常数，是函数类的标记。并不是一个恒定的常数，否则这里就会直接得出\(\arctan x+\mathrm{arccot}x=0\)的荒谬结果。

不定积分的四大法宝

不定积分的线性运算法则

（正是因为不定积分只有线性运算性质而没有乘除运算性质，所以会比导数运算麻烦很多）

若\(\int f(x)\,\mathrm dx,\int g(x)\,\mathrm dx\)均存在，\(\forall \alpha,\beta\)为常数，（\(\alpha, \beta\)不同时为0），则\(\int[\alpha f(x)+\beta g(x)]\,\mathrm dx\)(存在)\(=\alpha\int f(x)\,\mathrm dx+\beta\int g(x)\,\mathrm dx\)

证：\(\Big(\alpha\int f(x)\,\mathrm dx+\beta\int g(x)\,\mathrm dx\Big)'\xlongequal{导数的线性运算法则}\alpha\big(\int f(x)\,\mathrm dx\big)'+\beta\big(\int g(x)\,\mathrm dx\big)'\xlongequal{不定积分定义}\alpha f(x)+\beta g(x)\)，而且对应原式中\(\int f(x)\big/g(x)\,\mathrm dx\)均能表示对应着一族函数，从而这个表示是成立的。

不定积分与凑微分（第一换元法）

\(\tan x\,\mathrm dx=\int \frac{\sin x}{\cos x}\mathrm dx=?\)

若\(F'(x)=f(u)\)，则\([F(\varphi(x))]'=F'(\varphi(x))\varphi'(x)=f(\varphi(x))\varphi'(x)\)（利用微分的一阶形式不变性）

• \(\color{#00FFFF}{思考：}\)
  求\(\int g(x)\,\mathrm dx\)，如果\(g(x)\,\mathrm dx=\mathrm dF\)，则\(\int g(x)\,\mathrm dx=F+C\)

那么，利用上述思考，层层向上凑，(先凑出\(\varphi(x)\))如果\(g(x)\,\mathrm dx=f(\varphi(x))\varphi'(x)\,\mathrm dx\xlongequal[F'(u)=f(u)]{找到F(u)}f(\varphi(x))\varphi'(x)\,\mathrm dx\xlongequal[\varphi(x)=u]{消解一层}f(u)\,\mathrm du=\mathrm dF(u)\)，已经得到了思考中的结构，积分可得\(F(\varphi(x))+C\)。可以多层使用直至找到。
其中找到\(\varphi'(x)\)结构的过程就是凑微分。帮助\(\varphi(x)\)找到“衣服”然后穿回原来的人模狗样。直到发现穿到某一层可以出去见人（有对应微分的公式）

然后我们很容易得到两个公式：

\[\begin{aligned} &17.\int\tan x\,\mathrm dx=-\ln|\cos x|+C\\ &18.\int\cot x\,\mathrm dx=\ln |\sin x|+C \end{aligned}\]

• \(\color{#00FFFF}{补充：}\)
  （一些可用的微分关系式）
• \(1^。\)\(\mathrm dx=1\cdot \mathrm dx=\frac{1}{a}\mathrm d(ax+b)(a\not=0)\)
• \(2^。\)\(x\mathrm dx=\frac{1}{2}\mathrm dx(x^2\pm a^2)\)
• \(3^。\)\(x\mathrm dx=-\frac{1}{2}\mathrm d(a^2-x^2)\)
• \(4^。\)\(\cos x\mathrm dx=\mathrm d\sin x\)
• \(5^。\)\(\sin x=-\mathrm d\cos x\)
• \(6^。\)\(\frac{1}{x}\mathrm dx=\mathrm d\ln|x|\xlongequal{if \,\,x>0}\mathrm d\ln x\)
• \(7^。\)\(e^x\mathrm dx=\mathrm de^x\)

随后我们又可以推出

\[\begin{aligned} &19.\int\frac{1}{a^2+x^2}\mathrm dx(a\not=0)=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C\\ &20.\int\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\mathrm dx(a>0)=\arcsin\frac{x}{a}+C\\ &21.\int\frac{1}{a^2-x^2}=\frac{1}{2a}\int\Big(\frac{1}{a-x}+\frac{1}{a+x}\Big)=\frac{1}{2a}\ln\Big|\frac{a+x}{a-x}\Big|+C\\ &22.\int\sec x\mathrm dx=\int\frac{1}{\cos x}\mathrm dx=\int\frac{\cos x}{\cos^2x}\mathrm dx=\int\frac{1}{1-\sin^2x}\mathrm d\sin x=\frac{1}{2}\ln\Big|\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\Big|+C=\frac{1}{2}\ln\Big|\frac{(1+\sin x)^2}{\cos^2 x}\Big|+C=\ln\Big|\sec x+\tan x\Big|+C(正切+正割)\\ &23.（同22）\int\csc x\mathrm dx=\ln\Big|\csc x-\cot x\Big|+C\\ &24.\int e^{ax}\mathrm dx(a\not=0)=\frac{1}{a}e^{ax}+C\\ &25.\int \cos ax\mathrm dx=\frac{1}{a}\sin ax+C\\ &26.\int\sin ax\mathrm dx=-\frac{1}{a}\cos ax+C \end{aligned}\]

但还是有一些问题不能解决，比如接下来这个例题

例 \(\int\sqrt{a^2-x^2}\mathrm dx(a>0)\)

不定积分的变量代换（第二换元法）

\(f(x)\mathrm dx=f(\varphi(t))\mathrm d\varphi(t)\xlongequal{x=\varphi(t)可导}f(\varphi(t))\varphi'(t)\mathrm dt\xlongequal{F'(t)=f(\varphi(t))\varphi'(t)}\mathrm dF(t)\xlongequal[代回t=\varphi^{-1}(x)]{x=\varphi(t)有反函数}\mathrm dF(\varphi^{-1}(x))\)（思路相当于先脱一件背心，然后再顺利轻松地穿好<即代换后的式子有对应积分公式>）

使用条件

如果被积函数中含有下列根式，不能用前面的方法解决，就用变量代换：

• \(1^。\)\(\sqrt{a^2-x^2}\)，令\(x=a\sin t, t\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\)
• \(2^。\)\(\sqrt{a^2+x^2}\),令\(x=a\tan t, t\in(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})\)
• \(3^。\)\(\sqrt{x^2-a^2}\)，令\(x=a\sec t, t\in[0, \frac{\pi}{2})\cup(\frac{\pi}{2}, \pi]\)
• \(4^。\)\(\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}\)，令\(x=\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}\)，相当于是直接设出反函数，然后再找怎样把原有结构简化成多项式结构，积分之后用反函数关系代回。类似\(\sqrt[n]{ax+b}\)的结构是这类的特殊情况

代回的时候，用三角形法则。利用\(t\)角对应的两边构造直角三角形。

\[\begin{aligned} &27.\int\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}\,\mathrm dx(a>0)=\ln(x+\sqrt{x^2+a^2})+C\\ &28.\int\frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}\,\mathrm dx=\ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C \end{aligned}\]

第二个需要绝对值，因为\(x\)取负数时，原函数无意义。

几个例题

\(1^。\)\(\int\frac{1}{\sqrt x+\sqrt[3]{x}}\,\mathrm dx\)，找根式的最小公倍数

\(2^。\)\(x^2(1-x)^{1000}\mathrm dx\):把括号换成简单的独元

\(3^。\)\(\int\frac{x^2}{(2x+1)^{10}}\,\mathrm dx\)：把分母换成独元

\(4^。\)\(\int\sqrt{x^2+a^2}\,\mathrm dx\)(这个看似和其他长得差不多，但是极其难解，分部+加减项+产生原式的移项法+套27)

定积分

意义

定义：设\(f(x)\)在\([a, b]\)上有定义，若

\[\lim\limits_{x\to0}\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i(存在且唯一)=I\xlongequal{\vartriangle}\int_a^b f(x)\,\mathrm dx \]

则\(I\)称为\(f(x)\)在\([a, b]\)上的定积分。\([a,b]\)称为积分区间，\(b\)称为积分上限，\(a\)称为积分下限。

几何意义

若\(x\in[a, b]\)时，\(\int_a^b f(x)\,\mathrm dx\)存在，则\(\int_a^b f(x)\,\mathrm dx\)表示曲线\(y=f(x)\)与\(x=a, x= b，x\)轴围成的各曲边梯形带权面积之和，权值与相应区段曲线的符号一致。

物理意义

变力做功

可积性

可积的必要条件

若\(f(x)\)在\([a, b]\)上可积，则\(f(x)\)在\([a,b]\)上一定有界。反之不成立。

充分条件

1. 若\(f(x)\in[a,b]\)，则\(f(x)\)在\([a,b]\)上可积，反之不成立
2. 若\(f(x)\)在\([a, b]\)有界，且\(f(x)\)只有有限个间断点（只有有限个第一类间断点），则\(f(x)\)在\([a,b]\)上可积，反之不成立。
3. 若\(f(x)\)在\([a,b]\)上单调，则\(f(x)\)在\([a,b]\)上可积，反之不成立。（辅助证明有限个第一类间断的条件）
   1. （子区间的可积性）若\(f(x)\)在\([a,b]\)上可积，且\([c,d]\subset[a,b]\)，则\(f(x)\)在\([c,d]\)上可积
   2. （可积函数具有趋同性）若\(f(x)\)在\([a,b]\)上可积，则\(|f(x)|\)在\([a,b]\)上可积，反之不成立。

定积分的性质

规定

1. \(\int_a^b f(x)\,\mathrm dx=-\int_b^a f(x)\,\mathrm dx\)
2. \(\int_a^a f(x)\,\mathrm dx=0\)

我们还有一个常用结论：\(\int_a^b \,\mathrm dx=b-a\)

• \(1^。\)线性运算法则（不限制上限大于下限）
  \(\int_a^b[\alpha f(x)+\beta g(x)]\,\mathrm dx=\alpha\int_a^b f(x)\,\mathrm dx+\beta \int_a^b g(x)\,\mathrm dx\)

• \(2^。\)区间的可加性（不限制上限大于下限）
  设\(a,b, c\)是不相等的三个常数，且\(f(x)\)在\([min\{a,b,c\}, max\{a,b,c\}]\)上可积，则\(\int_a^b f(x)\,\mathrm dx = \int_a^c f(x)\,\mathrm dx+\int_c^b f(x)\,\mathrm dx\)

• \(3^。\)（积分保号性）若\(x\in[a,b],f(x)\geq 0\)且\(\int_a^b f(x)\,\mathrm dx\)存在，则\(\int_a^bf(x)\,\mathrm dx\geq0\)

  • 推论（积分保序性）\(x\in[a,b],f(x)\geq g(x)\)且\(\int_a^bf(x)\,\mathrm dx, \int_a^bg(x)\,\mathrm dx\)都存在，则\(\int_a^bf(x)\,\mathrm dx \geq \int_a^bg(x)\,\mathrm dx\)

• \(4^。\)（不恒等可以严格保序）若\(f(x)\in C[a,b]\)且\(x\in[a,b],f(x)\geq 0, f(x)\not \equiv0\)，则\(\int_a^bf(x)\,\mathrm dx>0\)

  • 推论 若\(f(x),g(x)\in C[a,b]\)且\(x\in[a,b],f(x)\geq g(x),f(x)\not\equiv g(x)\)则\(\int_a^b f(x)\,\mathrm dx>\int_a^b g(x)\,\mathrm dx\)

• \(5^。\)（积分的绝对值不等式）若\(f(x)\)在\([a, b]\)上可积，则\(|\int_a^b f(x)\,\mathrm dx|\leq\int_a^b|f(x)|\,\mathrm dx\)

  • 可以利用绝对值不等式来理解。现使用（不等式性质）3证明：当\(x\in[a,b],-|f(x)|\leq f(x)\leq |f(x)|\Rightarrow-\int_a^b|f(x)|\,\mathrm dx\leq \int_a^bf(x)\,\mathrm dx\leq \int_a^b|f(x)|\,\mathrm dx\)，即证

• \(6^。\)估值定理
  若\(f(x)\)在\([a,b]\)上可积，\(m\leq f(x)\leq M, x\in[a,b]，\)其中\(m,M\)为常数，则\(m(b-a)\leq\int_a^bf(x)\,\mathrm dx\leq \int_a^b M\,\mathrm dx = M(b-a)\)

• \(7^。\)积分中值定理（不要求上限大于下限）
  若\(f(x)\in C[a,b]\)，则至少存在一点\(\xi\in[a,b]\)使得\(\int_a^bf(x)\,\mathrm dx=f(\xi)(b-a)\).
  其中\(\frac{\int_a^bf(x)\,\mathrm dx}{b-a}=f(\xi)\)称为\(f(x)\)在\([a,b]\)上函数的平均值，当\(f(x)\geq0, \int_a^bf(x)\,\mathrm dx=f(\xi)(b-a)\)

变上限积分

变上限函数

若\(f(x)\)在闭区间\([a,b]\)上连续，\(\forall x\in[a,b],f(t)\)在\([a,b]\)上连续，则\(\int_a^xf(t)\,\mathrm dt\)存在，对每一个\(x\in[a,b]\)，在定积分\(\int_a^xf(t)\,\mathrm dt\)对应法则下，对应唯一的一个值\(\int_a^xf(t)\,\mathrm dt\)，按照函数定义知\(\int_a^xf(t)\,\mathrm dt\)是区间\([a,b]\)上\(x\)的函数，称为变上限函数，记作\(G(x)\)即\(G(x)=\int_a^xf(t)\,\mathrm dt, x\in[a,b]\)

变上限求导定理

微积分基本定理，若\(f(x)\)在\([a,b]\)上连续，则\(G(x)=\int_a^xf(t)\,\mathrm dt\)在\([a,b]\)上可导，且\(G'(x)=f(x)\).

证：\(\forall x\in[a,b],\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{G(x+\Delta x)-G(x)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\int_a^{x+\Delta x}f(t)\,\mathrm dt-\int_a^xf(t)\,\mathrm dt}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\int_a^{x+\Delta x}f(t)\,\mathrm dt+\int_x^af(t)\,\mathrm dt}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\int_x^{x+\Delta x}f(t)\,\mathrm dt}{\Delta x}\xlongequal{积分中值定理}\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{f(\xi)\Delta x}{\Delta x}\)，其中\(\xi\)介于\(x,x+\Delta x\)之间。故原式\(=\lim\limits_{\xi\to x}f(\xi)=f(x)\)
即：

\[G'(x)=\Big(\int_a^xf(t)\,\mathrm dt\Big)'=\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\int_a^xf(t)\,\mathrm dt \]

或者直接写作

\[\Big(\int_a^xf(x)\,\mathrm dx\Big)'=f(x) \]

推论 可积的一个充分条件：
若\(f(x)\)在\([a,b]\)上连续，则\(f(x)\)在\([a,b]\)上一定由原函数。

证明：令\(G(x)=\int_a^xf(t)\,\mathrm dt, x\in[a,b],G'(x)=f(x)\)，这个变上限函数就是\(f(x)\)的一个原函数。所以连续函数如果求不出来原函数是水平问题😏。

Newton-Leibniz公式

若\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上连续且\(F(x)\)是\(f(x)\)在\([a,b]\)的一个原函数。则\(\int_a^bf(x)\,\mathrm dx=F(b)-F(a)\)

证明：由\(f(x)\)在\([a,b]\)上连续，知\(\int_a^xf(t)\,\mathrm dt\)是\(f(x)\)在\([a,b]\)上的一个原函数，又\(F(x)\)也是\(f(x)\)在\([a,b]\)上的一个原函数。\(\int_a^xf(t)\,\mathrm dt=F(x)+C, x\in[a,b]\)令\(x=a\)得\(\int_a^af(t)\,\mathrm dt=F(a)+C=0\)，从而得出\(C=-F(a)\)，令\(x=b\)，得\(\int_a^bf(t)\,\mathrm dt\xlongequal{哑元性}\int_a^bf(x)\,\mathrm dx=F(b)-F(a)\xlongequal{\vartriangle}F(x)\Big|_a^b\)当\(b<a\)时，\(f(x)\)在\([b,a]\)上连续，则

\[\int_a^bf(x)\,\mathrm dx=-\int_b^af(x)\,\mathrm dx=-[F(a)-F(b)]=F(b)-F(a) \]