学习笔记·群论入门

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• 群的定义$(Definition~of~Group)$
• 子群及其衍生

写在前面：群真的太强大了！感觉学会了群就学会了什么不得了的东西$233$

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群的定义$(Definition~of~Group)$

比较简单的来讲，所谓群$(\rm{group})$指的是一类特殊的集合，这个集合包含一组元素和大于等于一个的运算，比如乘法群救记作$(G,\cdot)$。那么平凡来讲，群满足下列几个性质：

我们假定一个平凡的群$G$支持$\color{purple}{qwq}$这种运算：

$Property1~~$封闭性$$\forall a\in G, b\in G, a_{\color{purple}{qwq}}b \in G$$

$Property2~~$运算的结合性$$(a_{\color{purple}{qwq}}b) _{\color{purple}{qwq}} c=a_{\color{purple}{qwq}} (b _qwq c)$$

$Property3~~$存在单位元（幺元）满足以下定义：$$\exists e\in G, s.t. \forall a\in G, e_{\color{purple}{qwq}} a=a_{\color{purple}{qwq}}e=a$$

$Property4~~$对于每个元素，存在逆元，即满足 $$\forall a\in G, \exists b\in G, s.t. a_{\color{purple}{qwq}} b=b_{\color{purple}{qwq}}a=e$$

那么也就是说的直白点吧，对所有的元素，做完该群所带有的带有结合律的运算之后，所得结果仍然属于该群且一定存在单位元，对于每个元素存在运算逆元。

那我们不妨定义一些其他的：

阿贝尔群$(Abel~ Group)$：即交换群——运算满足交换律的群。

半群：满足封闭性和结合律的群。

有限群$(Finite~Group)$：元素个数有限的群称为有限群,而有限群的元素个数称作有限群的阶

结合几个例子来解释一下：

比如以下是几个乘法群$$(Q\setminus{0}_,\cdot)~, (R\setminus{0}~, _\cdot),~ (C\setminus{0}_,\cdot)$$

他们都不能包括$0$这个元素，因为这个元素显然是没有逆元的。

或者一个好玩儿的乘法群 $$({1,-1}~~, ~~\cdot)$$ 或者是所有非奇异的$n$阶矩阵也可以组成一个乘法群。

或者是$$(Z_,+)$$这个群比较经典$233$，其中我们借助这个来练习一下如何判断是否成群,首先思考，这个东西一定是封闭的，因为最后会收敛于$\pm \inf$所以一定封闭，其次运算是一定符合结合律的，然后单位元肯定就是$0$，最后逆元的话，对于$n$那就一定是$-n$了（紧扣定义即可）。

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$Extra \ \ Things :$

以下是两种复合抽代数据结构（名字自己起的$233$）：

环：定义在两个运算上，$(G,+,\cdot)$其中$(G,+)$是阿贝尔群，$(G,\cdot)$是半群

举例子：$Z$, $R[x]$，即整数环和$R$上的所有多项式的集合。

域：同样定义在两个运算上，$(F,+,\cdot)$其中$(F,+)$是阿贝尔群，$(F\setminus\{0\},\cdot)$是阿贝尔群

举例子 ：$Q,R,C$即有理数域、实数域和复数域。

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好的，那我们尝试证明两个命题：

$Proposition1~~~~$一个群中的单位元唯一

设有两个单位元$e_1,e_2$

那么$e_1=e_1e_2=e_2$，其实是一个$233$

$Proposition2~~~~$群中元素的逆元唯一

以乘法群为例，假设$a$有两个逆元$b,c$，那么一定会有 $$b = b \cdot(a \cdot c) = (b \cdot a) \cdot c = c$$

显然也是同一个。

那么此时我打算整理一个群的共性特征：

$$(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$$

很显然，证明如下：

$$ab(b^{-1}a^{-1})=b^{-1}a^{-1})ab=e$$

提这个的目的就是，我们发现在矩阵的相关内容里面也有这件事儿~所以就很开心

那么之后我们讨论周期

对于一个元素$a \in G$而言，我们记$a$的周期是$o(a)$

$o(a)$表示最小正整数，使得$a^{o(a)}=e$

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子群及其衍生

本节所指“群”没有特别说明便均为有限群

不妨先给出子群的浅显版定义：

如果对于一个群$(G, C)$ ，其中$H\subseteq G$,，且 $(H,C)$是群，那么我们称在运算$C$下，$H$是$G$的子群，用$H\leq G$表示

那么从而我们可以定义生成子群这个东西：

生成子群：若$S \subseteq G$， 并且对于运算$C$而言，$(G,C)$也是一个群，那么就称$G$为集合$S$在运算$C$下的生成子群。集合$S$的生成子群用$<S>$表示

这之后我们就可以定义陪集这个概念

陪集一般上包含左陪集和右陪集。

左陪集：如果$H \leq G$，对于$a \in G$，定义集合$H_a = \{x\in G~|~ \exists h\in H, ah=x\}$为$H$的与元素$a$左陪集。

右陪集： 如果$H \leq G$，对于$a \in G$，定义集合$H_a = \{x\in G~|~ \exists h\in H, ha=x\}$为$H$的右陪集。

$233$也可以叫做傍集或者旁系之类的~

那么我们这个地方先只研究右陪集$233$

$Lemma1:$

我们首先证明一点：$|H|=|H_a|$，其中长得像绝对值符号的竖线表示的是有限群的群中元素数量。

这个其实比较显然，因为事实上群都是定义在非可重集上面的。

较为严谨的证明如下：

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$Proof.$

对于$H \leq G$，如果$h_1\neq h_2 \in H$，那么$h_1a\neq h_2a$

反证：若$h_1a=h_2a$，$h_1aa^{-1}=h_2aa^{-1},~h_1=h_2$矛盾

对于不同的$h$，$ha$互不相同，因此$|H_a|=|H|$

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$Lemma2:$

之后我们再证明一些好玩儿的：

命题：$H_a=H_b$当且仅当$ab^{-1}\in H$

看起来好像不是那么好玩……

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$Proof.$

若$H_a=H_b$，则$ea\in H_a$，即$a\in H_b$，那么$\exists h\in H,~a=hb$,那么$ab^{-1}=h$

若$ab^{-1}\in H$，那么$ha=ha(b^{-1}b)=(hab^{-1})b\in Hb$，因此$H_a\subseteq H_b$

$hb=hb(a^{-1}a)=h(ab^{-1})^{-1}a\in H_a$，故$H_b\subseteq H_a$

因此$H_a=H_b$

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那么我们还可以有一个推论：

若$H_a\neq H_b$，那么$H_a\cap H_b = \emptyset$

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$Proof.$

假设$x\in H_a\cap H_b$， 则$\exists h_1,h_2\in H$，$h_1a=h_2b=x$ ， 那么$ab^{-1}=h_1^{-1}h_2\in H$，那么$H_a=H_b$，矛盾

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从而还可以有个定理（$Lagrange$定理）：

由于$\forall g\in G$， $g\in Hg$，所以$G$中每个元素都在某个傍集中。用$[G:H]$表示不同的傍集数，那么

$$|G|=|H|\cdot [G:H]$$

也就是说$|H|$是$|G|$的约数。

这个其实很显然，因为不同元素的傍集如果不同就不会有交集，如果相同就不会被考虑到$[G:H]$里面。所以结论平凡。

但是其实这是个很伟大的定理$233$

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好的，那么从而就会有一些神奇的推论：

**推论一 ： 对于一个元素$a \in G$，$G$是一个群，那么$o(a) | G$ **

$Proof.$ 因为$o(a) = |<a>|$，由我们刚刚证明的定理可以得出$o(a) | G$

推论二：对任意的$a \in G,a ^{|G|} = e$

$Proof.$ 比较显然，由推论一可知。

推论三：若$|G|$为素数，则$G$是循环群

$Proof.$ 若$a \neq e$，那么会有$|<a>|$整除$|G|$。而由于$|G|$是个素数，所以只有可能$|G| = |<a>|$ ，所以$G$是个循环群。

接下来我们真的要去做些好玩的了~

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定理$1$·$Fermat$小定理

如果$p$为素数，那么存在$a^{p-1} \equiv 1 (\mod p)$

$Proof.$

考虑质数$p$，考虑群$G=\{1,2,\dots,p-1\}$，群的运算定义为对$p$取模的乘法，那么由$Lagrange$可知：

$$\forall a\in G, a^{p-1}=1(\mod p)$$

定理2·$Euler$定理

$a^{\phi(n)}=1 (\mod n)$

$Proof.$

考虑$n\in N^{+}$，考虑群$G=\{1\leq x\leq n~|~gcd(x,n)=1\}$,群的运算定义为对$n$取模的乘法

那么会有$|G|=\phi(n)$，从而有：

$$\forall a\in G, a^{\phi(n)}=1 (\mod n)$$

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没错，证明十分的简洁美观。

作者被这种神奇的证明给折服了$stO$.