学习笔记·群论入门
写在前面：群真的太强大了！感觉学会了群就学会了什么不得了的东西\(233\)
群的定义\((Definition~of~Group)\)
比较简单的来讲，所谓群\((\rm{group})\)指的是一类特殊的集合，这个集合包含一组元素和大于等于一个的运算，比如乘法群救记作\((G,\cdot)\)。那么平凡来讲，群满足下列几个性质：
我们假定一个平凡的群\(G\)支持\(\color{purple}{qwq}\)这种运算：
\(Property1~~\)封闭性$$\forall a\in G, b\in G, a\color{purple}{qwq}b \in G$$
\(Property2~~\)运算的结合性$$(a\color{purple}{qwq}b) \color{purple}{qwq} c=a\color{purple}{qwq} (b qwq c)$$
\(Property3~~\)存在单位元（幺元）满足以下定义：$$\exists e\in G, s.t. \forall a\in G, e\color{purple}{qwq} a=a\color{purple}{qwq}e=a$$
\(Property4~~\)对于每个元素，存在逆元，即满足 $$\forall a\in G, \exists b\in G, s.t. a\color{purple}{qwq} b=b\color{purple}{qwq}a=e$$
那么也就是说的直白点吧，对所有的元素，做完该群所带有的带有结合律的运算之后，所得结果仍然属于该群且一定存在单位元，对于每个元素存在运算逆元。
那我们不妨定义一些其他的：
阿贝尔群\((Abel~ Group)\)：即交换群——运算满足交换律的群。
半群：满足封闭性和结合律的群。
有限群\((Finite~Group)\)：元素个数有限的群称为有限群,而有限群的元素个数称作有限群的阶
结合几个例子来解释一下：
比如以下是几个乘法群$$(Q\setminus{0},\cdot)~, ~ (C\setminus{0},\cdot)$$(R\setminus{0}~, \cdot),
他们都不能包括\(0\)这个元素，因为这个元素显然是没有逆元的。
或者一个好玩儿的乘法群$$({1,-1}~~, ~~\cdot)$$或者是所有非奇异的\(n\)阶矩阵也可以组成一个乘法群。
或者是$$(Z,+)$$这个群比较经典\(233\)，其中我们借助这个来练习一下如何判断是否成群,首先思考，这个东西一定是封闭的，因为最后会收敛于\(\pm \inf\)所以一定封闭，其次运算是一定符合结合律的，然后单位元肯定就是\(0\)，最后逆元的话，对于\(n\)那就一定是\(-n\)了（紧扣定义即可）。
\(Extra \ \ Things :\)
以下是两种复合抽代数据结构（名字自己起的\(233\)）：
环：定义在两个运算上，\((G,+,\cdot)\)其中\((G,+)\)是阿贝尔群，\((G,\cdot)\)是半群
举例子：\(Z\), \(R[x]\)，即整数环和\(R\)上的所有多项式的集合。
域：同样定义在两个运算上，\((F,+,\cdot)\)其中\((F,+)\)是阿贝尔群，\((F\setminus\{0\},\cdot)\)是阿贝尔群
举例子 ：\(Q,R,C\)即有理数域、实数域和复数域。
好的，那我们尝试证明两个命题：
\(Proposition1~~~~\)一个群中的单位元唯一
设有两个单位元\(e_1,e_2\)
那么\(e_1=e_1e_2=e_2\)，其实是一个\(233\)
\(Proposition2~~~~\)群中元素的逆元唯一
以乘法群为例，假设\(a\)有两个逆元\(b,c\)，那么一定会有$$b = b \cdot(a \cdot c) = (b \cdot a) \cdot c = c$$
显然也是同一个。
那么此时我打算整理一个群的共性特征：
很显然，证明如下：
提这个的目的就是，我们发现在矩阵的相关内容里面也有这件事儿~所以就很开心
那么之后我们讨论周期
对于一个元素\(a \in G\)而言，我们记\(a\)的周期是\(o(a)\)
\(o(a)\)表示最小正整数，使得\(a^{o(a)}=e\)
子群及其衍生
本节所指“群”没有特别说明便均为有限群
不妨先给出子群的浅显版定义：
如果对于一个群\((G, C)\) ，其中\(H\subseteq G\),，且 \((H,C)\)是群，那么我们称在运算\(C\)下，\(H\)是\(G\)的子群，用\(H\leq G\)表示
那么从而我们可以定义生成子群这个东西：
生成子群：若\(S \subseteq G\)， 并且对于运算\(C\)而言，\((G,C)\)也是一个群，那么就称\(G\)为集合\(S\)在运算\(C\)下的生成子群。集合\(S\)的生成子群用\(<S>\)表示
这之后我们就可以定义陪集这个概念
陪集一般上包含左陪集和右陪集。
左陪集：如果\(H \leq G\)，对于\(a \in G\)，定义集合\(H_a = \{x\in G~|~ \exists h\in H, ah=x\}\)为\(H\)的与元素\(a\)左陪集。
右陪集： 如果\(H \leq G\)，对于\(a \in G\)，定义集合\(H_a = \{x\in G~|~ \exists h\in H, ha=x\}\)为\(H\)的右陪集。
\(233\)也可以叫做傍集或者旁系之类的~
那么我们这个地方先只研究右陪集\(233\)
\(Lemma1:\)
我们首先证明一点：\(|H|=|H_a|\)，其中长得像绝对值符号的竖线表示的是有限群的群中元素数量。
这个其实比较显然，因为事实上群都是定义在非可重集上面的。
较为严谨的证明如下：
\(Proof.\)
对于\(H \leq G\)，如果\(h_1\neq h_2 \in H\)，那么\(h_1a\neq h_2a\)
反证：若\(h_1a=h_2a\)，\(h_1aa^{-1}=h_2aa^{-1},~h_1=h_2\)矛盾
对于不同的\(h\)，\(ha\)互不相同，因此\(|H_a|=|H|\)
\(Lemma2:\)
之后我们再证明一些好玩儿的：
命题：\(H_a=H_b\)当且仅当\(ab^{-1}\in H\)
看起来好像不是那么好玩……
\(Proof.\)
若\(H_a=H_b\)，则\(ea\in H_a\)，即\(a\in H_b\)，那么\(\exists h\in H,~a=hb\),那么\(ab^{-1}=h\)
若\(ab^{-1}\in H\)，那么\(ha=ha(b^{-1}b)=(hab^{-1})b\in Hb\)，因此\(H_a\subseteq H_b\)
\(hb=hb(a^{-1}a)=h(ab^{-1})^{-1}a\in H_a\)，故\(H_b\subseteq H_a\)
因此\(H_a=H_b\)
那么我们还可以有一个推论：
若\(H_a\neq H_b\)，那么\(H_a\cap H_b = \emptyset\)
\(Proof.\)
假设\(x\in H_a\cap H_b\)， 则\(\exists h_1,h_2\in H\)，\(h_1a=h_2b=x\) ， 那么\(ab^{-1}=h_1^{-1}h_2\in H\)，那么\(H_a=H_b\)，矛盾
从而还可以有个定理（\(Lagrange\)定理）：
由于\(\forall g\in G\)， \(g\in Hg\)，所以\(G\)中每个元素都在某个傍集中。用\([G:H]\)表示不同的傍集数，那么
也就是说\(|H|\)是\(|G|\)的约数。
这个其实很显然，因为不同元素的傍集如果不同就不会有交集，如果相同就不会被考虑到\([G:H]\)里面。所以结论平凡。
但是其实这是个很伟大的定理\(233\)
好的，那么从而就会有一些神奇的推论：
**推论一 ： 对于一个元素\(a \in G\)，\(G\)是一个群，那么\(o(a) | G\) **
\(Proof.\) 因为\(o(a) = |<a>|\)，由我们刚刚证明的定理可以得出\(o(a) | G\)
推论二：对任意的\(a \in G,a ^{|G|} = e\)
\(Proof.\) 比较显然，由推论一可知。
推论三：若\(|G|\)为素数，则\(G\)是循环群
\(Proof.\) 若\(a \neq e\)，那么会有\(|<a>|\)整除\(|G|\)。而由于\(|G|\)是个素数，所以只有可能\(|G| = |<a>|\) ，所以\(G\)是个循环群。
接下来我们真的要去做些好玩的了~
定理\(1\)·\(Fermat\)小定理
如果\(p\)为素数，那么存在$a^{p-1} \equiv 1 (\mod p) $
$Proof. $
考虑质数\(p\)，考虑群\(G=\{1,2,\dots,p-1\}\)，群的运算定义为对\(p\)取模的乘法，那么由\(Lagrange\)可知：
定理2·\(Euler\)定理
\(a^{\phi(n)}=1 (\mod n)\)
\(Proof.\)
考虑\(n\in N^{+}\)，考虑群\(G=\{1\leq x\leq n~|~gcd(x,n)=1\}\),群的运算定义为对\(n\)取模的乘法
那么会有\(|G|=\phi(n)\)，从而有：
没错，证明十分的简洁美观。
作者被这种神奇的证明给折服了\(stO\).
