Luogu[P1108] 低价购买
\(\mathcal{\color{red}{Description}}\)
请你求出一个数列的最长下降子序列长度,并为此求出其方案数。
\[1 \leq N \leq 5000
\]
\(\mathcal{\color{red}{Solution}}\)
乍一看这个复杂度其实是卡死的……如果是\(n^2\)的话,我们的处理规模达到了\(25,000,000\),时限一秒的话……会感到很紧迫\(qwq\),但是的确能跑出来。
我们下来思索,对于最朴素的算法,如果不求方案数的话,是要用\(dp[i]\)表示到第\(i\)位的最长下降子序列长度,我们的纸张算法长这样:
for(i = 1; i <= N; i ++)
for(j = 1; j <= N; j ++){
if (base[i] < base[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1), ans = max(dp[i], ans);
}
那么,这样的话,对于第二问,我们就可以比较容易地求出方案数,做法是我们对第一问的DP数组再DP一次,就像这样:
for(i = 1; i <= N; i ++){
if(dp[i] == 1) f[i] = 1 ;
for(j = 1; j <= N: j ++)
if(base[i] < base[j] && dp[j] == dp[i] - 1) f[i] += f[j] ;
else if(base[i] == base[j] && dp[j] == dp[i]) f[i] = 0 ;
if(f[i] == ans) res ++ ;
}
嗯,这个应该挺好想的,本蒟唯一想错了的一点是,当时第二层循环里的else后面不应该是--应该是直接置为0才对qwq。
嗯,然后呢这就是\(n^2\)做法。但我一开始写的是\(nlogn\)做法,但是发现\(nlogn\)的话,第二问就不能在第一问的基础上dp了……真是件扫兴的事啊QAQ。
存一波代码\(qwq\)
#include <cstdio>
#include <iostream>
#define MAXN 10010
using namespace std ;
int l, r, mid, i, j, ans ;
int Len = 1, N, base[MAXN], f[MAXN], dp[MAXN] ;
inline int qr(){
int k = 0 ; char c = getchar() ;
while(!isdigit(c)) c = getchar() ;
while(isdigit(c)) k = (k << 1) + (k << 3) + c - 48, c = getchar();
return k ;
}
int main() {
N = qr( ) ;
for(i = 1; i <= N; i ++){base[i] = qr( ); f[i] = 1 ;}
for(i = 1; i <= N; i ++)
for(j = 1; j < i; j ++){
if(base[j] > base[i] && f[i] < f[j] + 1){
f[i] = f[j] + 1 ;
Len = max(Len, f[i]) ;
}
}
cout << Len << " " ;
for(i = 1; i <= N; i ++){
if(f[i] == 1) dp[i] = 1 ;
for(j = 1 ;j < i; j ++){
if(f[i] == f[j] + 1 && base[i] < base[j]) dp[i] += dp[j] ;
if(f[i] == f[j] && base[i] == base[j]) dp[i] = 0 ;
}
if(f[i] == Len) ans += dp[i] ;
}
cout << ans ;
return 0 ;
}
\(Xcode\)写出来的……画风诡异\(emmm\)