Luogu4581 想法

Luogu4581 想法

题面：Luogu

解析

题目的评分标准提示我们可以使用随机化算法。
考虑给每一个想法随机分配一个在\([0,d]\)范围内的权值\(w\)，对每一个题面，求出它涉及的想法的权值的最小值\(w_{min}\)。
现在有这样一个结论：给定\(n\)个在\([0,1]\)内的随机变量，其中第\(k\)小值的期望是\(\frac{k}{n+1}\)。
证明一下，现在我们求第\(k\)小值的期望，可以看作是再随机一个在\([0,1]\)内的数，其值小于等于第\(k\)小值的概率，考虑\(n+1\)个数的全排列，该变量的排名在第\(k\)小值前的概率为\(\frac{k \times n!}{(n+1)!}\)，即\(\frac{k}{n+1}\)，证毕。
那么假设我们已经求出了\(w_{min}\)的期望\(E\)，那么有\(E=\frac{d}{t+1}\)，其中\(t\)为题面所涉及的想法个数，解得\(t=\frac{d}{E}-1\)。
如何求出期望呢？多次随机求平均值即可，设求最小值的轮数为\(T\)，总复杂度即为\(O(Tn)\)。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define N 1000005
using namespace std;
template<typename T>
inline void In(T& u){
	char c=getchar(); T x=0,ft=1;
	for(;c<'0'||c>'9';c=getchar()) if(c=='-') ft=-1;
	for(;c>='0'&&c<='9';c=getchar()) x=x*10+c-'0';
	u=x*ft;
}
inline int min(int a,int b){ return a<b?a:b; }
int n,m,M,fm[N][2],val[N]; double Ex[N];
int main(){
	In(n); In(m); M=1e8/n; srand(time(0));
	for(int i=m+1;i<=n;++i) In(fm[i][0]),In(fm[i][1]);
	for(int T=1;T<=M;++T){
		for(int i=1;i<=m;++i) val[i]=rand();
		for(int i=m+1;i<=n;++i){
			val[i]=min(val[fm[i][0]],val[fm[i][1]]);
			Ex[i]+=(double)val[i]/M;
		}
	}
	for(int i=m+1;i<=n;++i) printf("%.0lf\n",RAND_MAX/Ex[i]-1);
	return 0;
}