Luogu3214 [HNOI2011]卡农
Luogu3214 [HNOI2011]卡农
题面:Luogu
解析
题意即为选出\(m\)个不同的数,使其异或和为0,发现其实就是先选前\(m-1\)个数,然后最后一个数应该等于前面所有数的异或和,这样计算两种不合法的情况:1.最后一个数为0。2.最后一个数与前面的数重复。先看1,发现是选\(m-1\)个数异或和为0,再看2,考虑删去重复的2个数,重复的数的位置有\(m-1\)中,取值有\(S-(i-2)\)中(因为不能与其他的数重复),那么剩下的\(m-2\)个数异或和应为0。那么设\(f(i)\)表示选\(i\)个数异或和为0的方案数,有:
\[f(i)=C[S][i-1]-f[i-1]-(S-i+2)(i-1)f[i-2]
\]
最后注意需要消除顺序的影响。
代码
// luogu-judger-enable-o2
#include<cstdio>
#define N 1000005
using namespace std;
const int P=100000007;
inline int In(){
char c=getchar(); int x=0,ft=1;
for(;c<'0'||c>'9';c=getchar()) if(c=='-') ft=-1;
for(;c>='0'&&c<='9';c=getchar()) x=x*10+c-'0';
return x*ft;
}
int n,m,pow_2,_inv,A[N],f[N];
inline int power(int x,int k){
int s=1,t=x;
for(;k;k>>=1,t=1ll*t*t%P) if(k&1) s=1ll*s*t%P;
return s;
}
int main(){
n=In(); m=In(); pow_2=(power(2,n)-1+P)%P;
_inv=1; for(int i=1;i<=m;++i) _inv=1ll*i*_inv%P; _inv=power(_inv,P-2);
A[1]=pow_2; for(int i=1;i<m;++i) A[i+1]=1ll*(pow_2-i+P)%P*A[i]%P;
f[0]=1; for(int i=2;i<=m;++i) f[i]=((A[i-1]-f[i-1]+P)%P-1ll*(pow_2-i+2+P)%P*(i-1)%P*f[i-2]%P+P)%P;
printf("%lld\n",1ll*f[m]*_inv%P);
return 0;
}