有上下界网络流学习笔记
有上下界网络流学习笔记
1.有（无）源汇有上下界最小费用可行流：算法的核心思想是补流。先判断原图是否有源汇，若有则连边\(t \to s(\infty/0)\)；随后新建超级源汇\(S\)，\(T\)；然后对于每一条边\(x \to y\)，连边\(x \to y(high-low/w)\)；接着对每一个点\(x\)，计\(\delta\)为该点入边流量下界之和减去该点出边流量下界之和，如果\(\delta\)为正数，说明接下来有一部分流量要从\(x\)流出，则连边\(S \to x(\delta/0)\)；若\(\delta\)为负数，说明需要有一部分流量流入\(x\)，则连边\(x \to T(-\delta/0)\)，最后做费用流在加上必须流的费用即可。
模板题，没啥好说的。
2.无源汇有上下界可行流：算法的核心是先建出初始流，再通过补充附加流，满足流量平衡（其实和1是一样的）。建立附加源汇\(S\)，\(T\)，然后对于每一条边\(x \to y\)，连边\(x \to y(high-low)\)；接着对每一个点\(x\)，计\(\delta\)为该点入边流量下界之和减去该点出边流量下界之和，如果\(\delta\)为正数，说明接下来有一部分流量要从\(x\)流出，则连边\(S \to x(\delta)\)；若\(\delta\)为负数，说明需要有一部分流量流入\(x\)，则连边\(x \to T(-\delta)\)。如果我们能够找到使后面所有附加上的边都满流的方案，那么我们就得到了可行流，所以对新图做最大流即可。若存在方案，那么最后每条边的流量为最大流中的流量加上原图中的流量下界。
例2.ZOJ2314
仍然是模板题。
3.有源汇有上下界最小/最大流：连边\(t \to s(\infty)\)，先用2中所述方法求出可行流，然后删去\(t \to s(\infty)\)，从\(s\)到\(t\)在原来的残量网络上增广即可得到最大流，因为这样既不破坏流量平衡，又不会不符合上下界，同时最大化了流量；最小流有两种做法：1.因为反向边的流量增加就是正向边的流量减小，最小流是正向边流量最小化，所以\(s \to t\)最小流就是反向边流量最大化，即\(t \to s\)最大流，设第一次增广中\(t \to s(\infty)\)的流量为\(x1\)，删除\(t \to s(\infty)\)反过来增广最大流为\(x2\),那么最小流即为\(x1-x2\)。2.（这个做法我也不是很明白，如果有大佬知道原因，希望能给我讲解一下）先求超级源汇的最大流，然后连边\(t \to s(\infty)\)，继续增广求超级源汇的最大流，答案即为新边\(t \to s(\infty)\)的实际流量，因为第一次增广时流量已经尽量往其他边流，那么加上这条新边后，就尽可能减小了最终答案。
例3.BZOJ2502
还有一些练习题，等我写了再贴在这吧。
