Codeforces 1188A 构造
题意：给你一颗树，树的边权都是偶数，并且边权各不相同。你可以选择树的两个叶子结点，并且把两个叶子结点之间的路径加上一个值（可以为负数），问是否可以通过这种操作构造出这颗树？如果可以，输出构造方案。初始树的边权都是0。
思路：A1很简单，只要判断是否有度数为2的点就可以了。对于A2, 由于边权各不相同，所以A1的结论同样适用。现在我们来构造一组答案。官方题解的构造方式是这样的：我们假设要让一个节点u到叶子结点v的路径都加上一个值x，并且知道叶子结点l1, l2都可以到达u，我们执行以下操作：v到l1的路径加上x / 2, v到l2的路径加上x / 2, l1 到 l2的路径加上-x / 2,这样除了u到v的路径，其它路径的值没有变（太菜了，想不到。。。）。那么，我们从树根开始，从上到下逐个构造边权即可。
由于n只有1000，所以实现方式有两种。
第一种很暴力，赋值操作直接暴力加，复杂度O(n ^ 2)。
代码：
#include <bits/stdc++.h>
#define pii pair<int, int>
#define LL long long
using namespace std;
const int maxn = 1010;
vector<pii> G[maxn];
vector<int> son[maxn];
LL add[maxn];
struct node {
int x, y;
LL z;
};
vector<node> ans;
int root = 1;
int f[maxn];
void adde(int x, int y, int z) {
G[x].push_back(make_pair(y, z));
G[y].push_back(make_pair(x, z));
}
int dfs(int x, int fa) {
f[x] = fa;
for (auto y : G[x]) {
if(y.first== fa) continue;
int tmp = dfs(y.first, x);
son[x].push_back(tmp);
}
if(G[x].size() == 1) {
return x;
}
return son[x][0];
}
void update(int x, int p, int val) {
while(x != p) {
add[x] += val;
x = f[x];
}
}
void dfs1(int x, int fa) {
int cnt = 0;
if(x == root) {
int y = G[x][0].first;
if(G[y].size() == 1) {
ans.push_back((node){x, y, G[x][0].second});
return;
}
LL tmp = G[x][0].second;
ans.push_back((node){son[y][0], root, tmp / 2});
ans.push_back((node){son[y][1], root, tmp / 2});
ans.push_back(node{son[y][0], son[y][1], -tmp / 2});
dfs1(y, x);
} else {
for (auto y : G[x]) {
if(y.first == fa) continue;
LL tmp = y.second - add[y.first];
int tmp1;
if(cnt == 0) tmp1 = 1;
else tmp1 = 0;
ans.push_back((node){son[x][cnt], root, tmp / 2});
ans.push_back((node){son[x][cnt], son[x][tmp1], tmp / 2});
ans.push_back(node{root, son[x][tmp1], -tmp / 2});
update(son[x][cnt], x, tmp);
dfs1(y.first, x);
cnt++;
}
}
}
int main() {
int n;
int x, y, z;
scanf("%d", &n);
for (int i = 1; i < n; i++) {
scanf("%d%d%d", &x, &y, &z);
adde(x, y, z);
}
for (int i = 1; i <= n; i++) {
if(G[i].size() == 2) {
printf("NO\n");
return 0;
}
}
for (int i = 1; i <= n; i++) {
if(G[i].size() == 1) {
root = i;
break;
}
}
dfs(root, -1);
dfs1(root, -1);
printf("YES\n");
printf("%d\n", ans.size());
for (int i = 0; i < ans.size(); i++) {
printf("%d %d %lld\n", ans[i].x, ans[i].y, ans[i].z);
}
}
第二种用了类似树剖中重儿子的思想，我们给一颗子树中决定一个优先级最高的叶子结点，这样加的操作是这个叶子结点到它的祖先的路径上进行的，其它的路径没有影响，这样累加影响的时候，如果这个叶子结点，把前面的影响累加上，否则不加。复杂度O(n)。
代码：
#include <bits/stdc++.h>
#define pii pair<int, int>
#define LL long long
using namespace std;
const int maxn = 1010;
vector<pii> G[maxn];
vector<int> son[maxn];
LL add[maxn];
struct node {
int x, y;
LL z;
};
vector<node> ans;
int root = 1;
int v[maxn];
void adde(int x, int y, int z) {
G[x].push_back(make_pair(y, z));
G[y].push_back(make_pair(x, z));
}
int dfs(int x, int fa) {
for (auto y : G[x]) {
if(y.first== fa) continue;
int tmp = dfs(y.first, x);
son[x].push_back(tmp);
}
if(G[x].size() == 1) {
v[x] = x;
return x;
}
v[x] = son[x][0];
return son[x][0];
}
void dfs1(int x, int fa, int tot) {
int cnt = 0;
if(x == root) {
int y = G[x][0].first;
if(G[y].size() == 1) {
ans.push_back((node){x, y, G[x][0].second});
return;
}
LL tmp = G[x][0].second;
ans.push_back((node){son[y][0], root, tmp / 2});
ans.push_back((node){son[y][1], root, tmp / 2});
ans.push_back(node{son[y][0], son[y][1], -tmp / 2});
dfs1(y, x, 0);
} else {
for (auto y : G[x]) {
if(y.first == fa) continue;
LL tmp = y.second;
if(v[y.first] == v[x]) tmp -= tot;
int tmp1;
if(cnt == 0) tmp1 = 1;
else tmp1 = 0;
ans.push_back((node){son[x][cnt], root, tmp / 2});
ans.push_back((node){son[x][cnt], son[x][tmp1], tmp / 2});
ans.push_back(node{root, son[x][tmp1], -tmp / 2});
dfs1(y.first, x, y.second);
cnt++;
}
}
}
int main() {
int n;
int x, y, z;
scanf("%d", &n);
for (int i = 1; i < n; i++) {
scanf("%d%d%d", &x, &y, &z);
adde(x, y, z);
}
for (int i = 1; i <= n; i++) {
if(G[i].size() == 2) {
printf("NO\n");
return 0;
}
}
for (int i = 1; i <= n; i++) {
if(G[i].size() == 1) {
root = i;
break;
}
}
dfs(root, -1);
dfs1(root, -1, 0);
printf("YES\n");
printf("%d\n", ans.size());
for (int i = 0; i < ans.size(); i++) {
printf("%d %d %lld\n", ans[i].x, ans[i].y, ans[i].z);
}
}
两份代码中为了实现方便，都找了一个度为1的点为根。
