Codeforces 1188C DP 鸽巢原理
题意:定义一个序列的beauty值为序列中元素之差绝对值的最小值,现在给你一个数组,问所有长度为k的子序列的beauty值的和是多少?
思路:(官方题解)我们先解决这个问题的子问题:我们可以求出beauty值大于等于给你值的序列有多少个(假设为p[i]),那么其实答案就是∑(i从1到max(a)) p[i]。怎么求p数组呢?我们先对数组排序,假设现在求p[x], 设dp[i][j]为以第i个元素为结尾,长度为j的子序列的个数。那么所有a[i] - a[j] >= x的j都可以向i转移,所以,我们用指针维护满足a[i] - a[j] >= x的最靠近i的位置,并且维护前缀和以进行O(1)转移。这样每次的转移是O(n * k)的。假设m = max(a), 那么总的复杂度是O(m * n * k)。但是,我们发现,长度为k的序列有k - 1个差,那么beauty值的最小值为n / (k - 1) (由鸽巢原理可知), 所以复杂度变成了O(m / (k - 1) * n * k) = O(n * m)的,可以过。这个题需要注意一下,如果把dp的两维交换一下,即dp[i][j]表示长度为i的子序列中,以元素j为结尾的子序列的个数,这样表示可以快大概600ms。如果学过《深入理解计算机系统》可能会知道为什么,因为n >= k, 所以访问n的机会多,放第二维会让n的访问之间连续,时间更短。这题可能有点卡long long。
代码:
#include <bits/stdc++.h> #define LL long long #define INF 0x3f3f3f3f #define pii pair<int, int> #define db double using namespace std; const LL mod = 998244353; const int maxn = 1010; int dp[maxn][maxn]; int sum[maxn][maxn]; int a[maxn]; int ans = 0; int n, k; void solve(int x) { for (int i = 0; i <= k; i++) for (int j = 1; j <= n; j++) { dp[i][j] = 0; sum[i][j] = 0; } for (int i = 1; i <= n; i++) dp[1][i] = 1; for (int i = 1; i <= k; i++) { int l = 1; for (int j = 1; j <= n; j++) { while(a[j] - a[l] >= x) l++; dp[i][j] = (dp[i][j] + sum[i - 1][l - 1]) % mod; sum[i][j] = (dp[i][j] + sum[i][j - 1]) % mod; } } for (int i = 1; i <= n; i++) ans = (ans + dp[k][i]) % mod; } int main() { scanf("%d%d", &n, &k); for (int i = 1; i <= n; i++) { scanf("%d", &a[i]); } sort(a + 1, a + 1 + n); for (int i = 1; i <= a[n] / (k - 1); i++) { solve(i); } printf("%d\n", ans); }