扩展欧几里得模板&逆元求法

 

拓展欧几里得：

当 gcd （ a ， b ）= d 时，求绝对值和最小的 x ， y 使得 x * a + y * b = d ；

d = gcd （ a ， b ） = gcd （ b ， a mod b ）；

设：

x1 * a + y1 * b = d ；　　　　　　　　①

x2 * b + y2 * （ a mod b ） = d ；　　 ②

因为 a mod b = a - （ a / b ）* b；　　③（除法为整除）

将③代入①整理得：

y2 * a + （ x2 - （ a / b ） * y2 ） * b = d；　④

由①和④整理得：

x1 = y2 ；

y1 = x2 - （ a / b ） * y2；

将此结论代入递归函数既得。

 

#include<stdio.h>
#define ll long long

void gcd(ll a,ll b,ll& d,ll& x,ll& y){
    if(!b){d=a;x=1;y=0;}
    else {gcd(b,a%b,d,y,x);y-=x*(a/b);}
}

int main(){
    ll a,b,d,x,y;
    while(scanf("%lld%lld",&a,&b)!=EOF){
        gcd(a,b,d,x,y);
        printf("%lld*%lld+%lld*%lld=%lld\n",a,x,b,y,d);
    }
    return 0;
}

拓展欧几里得求逆元：

当 a 与 b 互素时有 gcd （ a ， b ） = 1 ；

即得： a * x + b * y = 1；

a * x ≡ 1 （ mod b ）；

由于 a 与 b 互素，同余式两边可以同除 a ，得：

1 * x ≡ 1 / a （mod b）；

因此 x 是 a mod b 的逆元；

#include<stdio.h>
#define ll long long

ll gcd(ll a,ll b,ll &d,ll& x,ll& y){
    if(!b){
        d=a;
        x=1;
        y=0;
        return x;
    }
    else{
        gcd(b,a%b,d,y,x);
        y-=x*(a/b);
    }
    return x;
}

int main(){
    ll a,b,d,x,y;
    while(scanf("%lld%lld",&a,&b)!=EOF){
        x=gcd(a,b,d,x,y);
        printf("a:%lld->x:%lld\n",a,x);
    }
    return 0;
}

 

MOD为素数时可以用下面2种方法求逆元

void get_inv(){
    inv[1]=1;
    for(int i=2;i<mod+5;i++)
        inv[i]=inv[mod%i]*(mod-mod/i)%mod;
}

 

费马小定理：当MOD是素数时,a^(MOD-1)≡1(mod MOD)。（费马小定理是欧拉定理的特殊情况）

那么逆元x=a^(MOD-2)%MOD。可以用快速幂直接求出。

Pow(a,MOD-2,MOD)%MOD

 http://www.cnblogs.com/pk28/p/5718855.html