摘要：
温馨提示: 这一篇是到目前为止内容最多的一章, 性质非常重要, 难度相较于前几篇也有不小的上升. 1. 同余 若 $m|a-b$, 称 $a,b$ 模 $m$ 同余, $b$ 是 $a$ 对模 $m$ 的剩余, 记作 $a\equiv b\pmod m$. 反之记作 $a\not\equiv b\p 阅读全文
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我们假设你已经熟练掌握了树上的各项基础技术. 下面来做一下题吧! 1. [NOIP2007 提高组] 树网的核 简明题意: 给定一棵有 $n$ 个结点的带权无根树, 在其直径上找到一段长度不大于 $s$ 的链 (称为核, 可退化为一个点), 使得树上的其他结点到该路径距离的最大值 (称为偏心距) 最 阅读全文
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1. 割边和割点 首先我们 dfs 一遍构造出 dfs 树并排出 dfn 序. 显然这棵树没有横叉边. 考虑割边的形成条件. 显然割边只能是树边, 因为非树边会和对应的树上的路径组成环. 考虑边 $(u,v)$, 其中 $v$ 是 $u$ 的儿子. 因为没有横叉边, 我们只需要保证从 $v$ 及其子 阅读全文
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1. 一次不定方程 我们来考察一次不定方程 $\sum_{j=1}^k a_jx_j=c$. 首先考虑解的存在性. 我们有裴蜀定理: 原方程有解当且仅当 $(a_1,\cdots,a_k)|c$. 证明是容易的. 根据 2.3.8 (即第2篇笔记标题3定理8), 解一定存在. (性质里得出的解乘上 阅读全文
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1. 素因数分解式的性质 在第一篇里面我们证明了算术基本定理. 下面我们对素因数分解式进行更细致的考察. 首先我们对分解式中相同的素数进行合并, 得到 $a=p_1^{\alpha_1}\cdots p_s^{\alpha_{s}}, p_1<p_2<\cdots<p_s$. 有以下性质: $d|a 阅读全文