数论笔记6-一元一次同余方程(组)

1. 同余方程的基本认识与一元一次同余方程

设 \(f(x)=\sum\limits_{j=0}^na_jx^j\). 我们称 \(f(x)\equiv0\pmod m\) 为 (多项式) 同余方程.
若有整数 \(c\) 满足 \(f(c)\equiv0\pmod m\), 称 \(c\) 为同余方程的一个解. 显然此时 \(c\bmod m\) 中的任意数都是解, 我们将这些解统一记为 \(x\equiv c\pmod m\).
我们称对 \(m\) 两两不同余的解的个数为同余方程的解数, 记作 \(T(m;f)\) (之后我们也会简称有 \(T(m;f)\) 个解). 容易发现, 我们只需要在一组完全剩余系中求解即可, 解数至多为 \(m\).
另外显然多项式中系数模 \(m\) 为 \(0\) 的项对解方程没有意义, 所以同余方程的次数指的是系数模 \(m\) 不为 \(0\) 的最高次.

为了解同余方程, 我们有时会用同余式的性质对其进行等价变形. 列举如下 (都是显然的)

1. \(f(x)\equiv0\pmod m\Lrarr f(x)+ms(x)\equiv0\pmod m\)
2. \(f(x)\equiv0\pmod m \Lrarr f(x)+s(x)\equiv s(x)\pmod m\)
3. \(f(x)\equiv0\pmod m\Lrarr af(x)\equiv0\pmod m,(a,m)=1\)
4. 设 \(h(x)\equiv0\pmod m, f(x)≣q(x)h(x)+r(x)\pmod m\), 则 \(f(x)\equiv0\pmod m\Lrarr r(x)\equiv 0\pmod m\).

最后一条是很有用的. 对素数模由费马小定理取 \(h(x)=x^{m-1}-1\) 有时可以有效化简式子.

另外还有一条常用结论 (显然):

5. \(f(x)\equiv0\pmod m\) 有解 \(\Rarr f(x)\equiv0\pmod d,d|m\) 有解.

这还启发我们可以通过解后面的方程得到解 \(x_0\), 再用 \(x=x_0+kd\) 代入前面的方程进行验证得到所有解. 7.1 中即有应用.

接下来讨论最简单的一元一次同余方程, 即:

\[ax\equiv b\pmod m,m\nmid a \]

首先容易发现, 若 \((a,m)=1\), 原方程有且只有一个解.
因为此时必存在逆元 \(a^{-1}\), 则 \(x\equiv a^{-1}b\pmod m\) 即为一组解. 容易证明不会有其它的解.

对于其它情况, 我们只需将方程化为不定方程的形式:

\[ax_0+my_0=b \]

这样我们就轻松得出了有解的一个必要条件是 \((a,m)|b\). 事实上, 这也是一个充分条件, 即下面的定理:

6. 原方程有解的充分必要条件是 \((a,m)|b\), 且有解时解数为 \((a,m)\).

要证明充分性, 最简单的做法是直接将 \((a,m)\) 这个因子去掉:

\[\dfrac{a}{(a,m)}x\equiv\dfrac{b}{(a,m)}\left(\bmod{\dfrac{m}{(a,m)}}\right) \]

我们知道 \(\left(\dfrac{a}{(a,m)},\dfrac{m}{(a,m)}\right)=1\), 这正是之前讨论过的情况. 解出 \(x\equiv x_0\left(\bmod{\dfrac{m}{(a,m)}}\right)\) 即可.
注意到我们这是在模 \(\dfrac{m}{(a,m)}\) 下的结果, 我们还要把模还原回去. 运用 5.2.8 剩余系的式子即有

\[x\equiv x_0+\dfrac{m}{(a,m)}t\pmod m,\quad t=0,\cdots,(a,m)-1 \]

2. 一元一次同余方程组

接下来我们讨论一元一次同余方程组.
一元一次同余方程组的一般形式如下:

\[x\equiv a_j\pmod {m_j}\quad (1\leqslant j\leqslant k) \]

首先我们对 \(m_j\) 进行素因子分解, 将模化为素数幂. 对每个素数我们取最高次 \(p_j^{\alpha_j}\):

\[x\equiv t\pmod{p_j^{\alpha_j}} \]

根据 1.5,

\[x\equiv t\pmod{p_j^l},\quad l\leqslant\alpha_j \]

所以我们只需要对低次的进行验证即可. 于是问题转化为了 \(m_j\) 两两互质的情况. 此时我们就有中国剩余定理:

1. 设 \(m=m_1\cdots m_k, M_j=m/m_j, M_jM_j^{-1}\equiv1\pmod{m_j}\), 则原方程有唯一解 \(x\equiv \sum\limits_{j=1}^kM_jM_j^{-1}a_j\pmod m\).

解的构造思路其实就是找到 \(x_j=M_jM_j^{-1}a_j\), 使其满足

\[x_j\equiv a_j\pmod {m_j},\quad x_j\equiv 0\pmod{m_i}, i\neq j \]

所有的 \(x_j\) 组合起来就得到了原方程的解.

解的唯一性是显然的, 因为每个同余方程的解都是唯一的, 由 5.1.9 易得.

解一元一次同余方程组实质上是一个求剩余系的交的问题. 根据中国剩余定理和 5.2.18, 容易证明:

2. 沿用上面的符号, 设 \(x=\sum\limits_{j=1}^kM_jM_j^{-1}x^{(j)}\), \(x^{(j)}\) 通过模 \(m_j\) 的完全/既约剩余系. 则:
   • \(\bigcap\limits_{j=1}^kx^{(j)}\bmod{m_j}=x\bmod m\)
   • \(x\) 通过模 \(m\) 的完全/既约剩余系.