SCC 和 BCC 题选做（+2-SAT 讲解）
为了保证文章的整体简洁，代码就不放了。
upd: NOIP2022 上被教育了. (虽然问题在于我不会dp
1. SCC
1. luoguP2341 [USACO03FALL / HAOI2006] 受欢迎的牛 G
考虑一个 SCC 内的所有点互相可达，我们完全可以先缩点。
那么能从其他所有点到达的点都在 DAG 上出度为 0 的 SCC 内。（若有多个这样的点那就不存在这样的点了）
做完了。
2. luoguP1262 间谍网络
容易发现如果 SCC 内一个点被支配了，其他的点就也被支配了。
于是直接缩点，图不连通就无解，否则在所有入度为 0 的 SCC 中选出点权最小的点即可。
3. luoguP4819 [中山市选]杀人游戏
危险题面。
4. luoguP3119 [USACO15JAN]Grass Cownoisseur G
5. AT3945 [ARC092D] Two Faced Edges
6. luoguP7737 [NOI2021] 庆典
2. BCC
1. luoguP2860 [USACO06JAN]Redundant Paths G
注意一个边双中的点已经满足要求。否则路径上的边都是割边，矛盾。
于是对边双缩点转到树上。显然树上的两点间都已经有了一条路径。
我们发现新增边 \((u,v)\) 会使树上 \(u,v\) 之间的链上的点都满足要求。
那么容易发现最优的策略是每次选两个儿子进行连边。
答案就为 \(\left\lceil\dfrac{l}{2}\right\rceil\)，其中 \(l\) 是树的叶子数。
2. CF555E Case of Computer Network
显然我们可以对边双进行定向，使边双里的点互相可达。于是做边双缩点。
然后因为图可能不是连通的，我们需要判断询问的两个点在不在一个连通块里。
在一个连通块里的，想要满足条件就必须将树上从 \(s_i\) 到 \(t_i\) 的链都给定到一个方向。
于是我们考虑树上差分维护树边定的方向，判断互相有没有矛盾即可。
3. SP2878 KNIGHTS - Knights of the Round Table
4. luoguP3225 [HNOI2012]矿场搭建
3. 2-SAT
首先 SAT 问题是啥?
个人理解: SAT 问题是一类特殊的 bool 方程.
首先, 方程要有变量. 所以我们有一些 bool 变量 \(p_1,p_2,\cdots,p_n\).
其次, 方程要有条件. 我们有若干个条件需要同时被满足, 每个条件都是如下的形式:
(\(p_{a_1}\) 为真/假) 或 (\(p_{a_2}\) 为真/假) 或 \(\cdots\) 或 (\(p_{a_k}\) 为真/假)
也就是说 对于每个条件, 至少要有一个 \(p_{a_i}\) 为真/假 要被满足.
如果每个条件的限制个数最多为 \(k\), 那我们称其为 k-SAT 问题.
不幸的是, 已经证明了 \(k\geqslant3\) 时 k-SAT 问题是 NPC 问题.
因此我们这里只讨论 2-SAT 问题的解法.
首先我们把 2-SAT 问题再具体化一些.
给定 bool 变量 \(p_1,p_2,\cdots,p_n\) 和一堆条件, 每个条件是以下五种之一:
- \(p_i\) 为真
- \(\lnot p_i\) 为真, 即 \(p_i\) 为假
- \(p_i\lor p_j\) 为真, 即两变量的或为真
- \(\lnot p_i \lor p_j\) 为真
- \(\lnot p_i\lor\lnot p_j\) 为真
2-SAT 的特殊之处在于, 我们可以把这些条件写成蕴含式. (包含逆否命题)
- \(\lnot p_i\Rarr p_i\)
- \(p_i\Rarr\lnot p_i\)
- \(\lnot p_i\Rarr p_j, \lnot p_j\Rarr p_i\)
- \(p_j\Rarr p_i, \lnot p_i\Rarr \lnot p_j\)
- \(p_i\Rarr\lnot p_j, p_j\Rarr\lnot p_i\)
然后一下子就有了图论的感觉! 考虑建立 \(2n\) 个点表示 \(p_1,\cdots,p_n\) 和 \(\lnot p_1,\cdots,\lnot p_n\), 然后按照上面的蕴含式连边.
我们知道蕴含有传递性, 对应到图上其实就是连通性.
如果出现了强连通分量, 那就意味着强连通分量内的命题等价.
很明显, 若 \(p_i\) 和 \(\lnot p_i\) 在同一个强连通分量里, 那么原方程就无解了.
看上去是一定有解的. 我们考虑直接把解构造出来.
我们发现如果有 \(\lnot p_i\rightsquigarrow p_i\), 那此时就对应了 \(p_i\) 真, 我们选择 \(p_i\). 换句话说, 我们选择拓扑序大的一个.
这样选择是否一定是正确的?
假设存在 \(\lnot p_i\rightsquigarrow p_i,\lnot p_j\rightsquigarrow p_j\), 但是 \(p_i\rightsquigarrow \lnot p_j\).
显然有逆否命题, \(p_j\rightsquigarrow\lnot p_i\). 但是根据上面拓扑序的大小规律, 轻松就能推出矛盾. 因此 \(p_i\rightsquigarrow \lnot p_j\) 不可能存在, 我们构造出的是一组合法解.
P4782 【模板】2-SAT 问题
实际操作的时候因为 tarjan 染色就已经求出来拓扑序了, 所以不用再跑一遍.
1. luoguP4171 [JSOI2010] 满汉全席
纯纯的板子. 略.
2. luoguP3825 [NOI2017] 游戏
没有 x: 2-SAT 板子.
有 x: 好家伙是 3-SAT?
注意到 x 的数量并不多, 考虑暴力枚举.
但是枚举是 AB, AC 还是 BC 时间复杂度就直接变成 \(O(3^d(n+m))\), 寄.
等等我们真的需要枚举三种情况吗?
实际上两种就够了, 比如枚举 AB 和 AC. 因为这已经包含了这个位置选择 A, B, C 是否可行.
时间复杂度 \(O(2^d(n+m))\).
