抽象代数笔记1-群环域的引入
复读自 丘维声《近世代数》, 但是顺序略有调整.
这本书是在开头就引出了群环域的基本概念, 再在后面进行深入研究.
另外LaTeX真的难打.
1. 等价关系
二元关系: 设 \(W\) 非空, \(W\in S\times S\), 称 \(W\) 为 \(S\) 上的一个二元关系. 若 \((a,b)\in W\), 称 \(a,b\) 有 \(W\) 关系, 记作 \(aWb\) 或 \(a\sim b\); 否则称 \(a,b\) 没有 \(W\) 关系.
等价关系: 若 \(S\) 上的二元关系 \(\sim\) 有如下性质:
- \(\forall a\in S,a\sim a\)
- \(\forall a,b\in S, a\sim b\Rarr b\sim a\)
- \(\forall a,b,c\in S,a\sim b\and b\sim c\Rarr a\sim c\)
此时称 \(\sim\) 是 \(S\) 上的等价关系.
等价类: 设 \(\sim\) 是 \(S\) 上的等价关系, \(\forall a\in S\), 称 \(\bar{a}:=\{x\in S|x\sim a\}\) 是 \(a\) 的等价类, \(a\) 是 \(\bar{a}\) 的一个代表.
等价类有下面的简单性质:
- \(\bar{a}=\bar{b}\Lrarr a\sim b\)
证明:
必要性: \(a\in \bar{a}=\bar{b}\Rarr a\sim b\)
充分性: 由 \(a\sim b\), \(\forall c\in \bar{a},c\sim a\Rarr c\sim b,c\in\bar{b}\Rarr\bar{a}\sube\bar{b}\), 同理 \(\bar{b}\sube\bar{a}\), 得 \(\bar{a}=\bar{b}\).
根据这个定理我们发现, 等价类 \(\bar{a}\) 中的任意一个元素都可以是该等价类的一个代表. 因为 \(\forall c\in\bar{a},c\sim a\Rightarrow c\in\bar{c}=\bar{a}\).
- \(\bar{a}\neq\bar{b}\Rarr\bar{a}\cap\bar{b}=\varnothing\)
证明:
设 \(\exist c\in\bar{a}\cap\bar{b}\), 则 \(c\in\bar{a},c\in\bar{b}\), 故 \(c\sim a,c\sim b\), 得 \(a\sim b\), 由上面的定理知 \(\bar{a}=\bar{b}\), 矛盾.
我们可以用等价类对集合进行划分.
设 \(\sim\) 是 \(S\) 上的等价关系, 则所有等价类组成的集合为 \(S\) 的一个划分.
证明: 根据上面的定理 2, 我们知道不同的等价类交集为空. 故我们只需证明所有等价类的并集是 \(S\) 即可. 显见 \(\bigcup\limits_{a\in S}\bar{a}\sube S\). 另一方面, \(\forall b\in S,b\in\bar{b}\sube\bigcup\limits_{a\in S}\bar{a}\Rarr S\sube\bigcup\limits_{a\in S}\bar{a}\), 综上我们就有 \(\bigcup\limits_{a\in S}\bar{a}=S\).
我们定义所有等价类组成的集合是 \(S\) 关于 \(\sim\) 的商集, 记作 \(S/\sim\).
反过来, 若给定集合的一个划分, 我们也能据此构造一个等价关系.
证明: 设 \(\{S_1,\cdots,S_n\}\) 是 \(S\) 的一个划分. 构造 \(\sim:=\{(a,b)|\exist S_i,a\in S_i\and b\in S_i\}\), 显见 \(\sim\) 是 \(S\) 上的等价关系并且每个 \(S_i\) 是一个等价类.
2. 群环域的概念
1. 群
设 \(G\) 是非空集合, 在 \(G\) 上定义一个代数运算 (乘法) , 满足:
- \(\forall a,b,c\in G,(ab)c=a(bc)\) (结合律)
- \(\exist e\in G,\forall a\in G,ea=ae=a\) (存在单位元)
- \(\forall a\in G,\exist a^{-1}\in G,aa^{-1}=a^{-1}a=e\) (存在逆元)
此时称 \(G\) 关于这个代数运算构成了群.
若乘法还满足交换律, 即 \(\forall a,b\in G,ab=ba\), 称这个群是一个交换群 (Abel 群) .
有限群 \(G\) 的元素个数叫作群的阶, 记作 \(|G|\).
群的单位元唯一. 事实上若设有两个不同的单位元 \(e_1,e_2\), 有 \(e_1=e_1e_2=e_2\), 矛盾.
群中元素的逆元唯一. 事实上若设 \(a\) 有两个不同的逆元 \(a^{-1},a^{-1}_*\), 则有 \(aa^{-1}=e=aa^{-1}_*\), 左右同时左乘 \(a^{-1}\), 由结合律即得 \(a^{-1}=a^{-1}_*\), 矛盾.
方便起见, 我们定义 \(a^n:=a^{n-1}a(n\geqslant1)\), \(a^0=e\), \(a^{-n}=(a^{-1})^n\). 容易发现 \(a^na^m=a^{n+m}\), \((a^n)^m=a^{nm}\), \((ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}\), 但是一般 \((ab)^n\neq b^na^n\).
有的时候我们也会把群中的运算称为加法, 为符合习惯, 上述记号和说法会有一些变化. 有 \(0:=e\), 称为零元, \(-a:=a^{-1}\), 称为负元, 并记 \(na:=a^n\). 不过之后的定义都是对乘法进行定义, 但是这些定义对加法是类似的.
元素的阶: 对于群 \(G\) 中的元素 \(a\), 若存在满足 \(a^n=e\) 的最小正整数 \(n\), 称 \(n\) 是元素 \(a\) 的阶, 记作 \(|a|\). 若 \(\forall n\in\mathbb{Z}^*,a^n\neq e\), 称 \(a\) 是无限阶元素.
群的 (外) 直积: 设有两个群 \(G,H\), 在 \(G\times H\) 上定义乘法运算 \((g_1,h_1)(g_2,h_2)=(g_1g_2,h_1h_2)\), 容易发现 \(G\times H\) 和这个乘法运算构成了一个群. 这个群叫作 \(G\) 和 \(H\) 的 (外) 直积, 仍记作 \(G\times H\). 另外如果称群上的运算为加法, 那这个群就叫做 \(G\) 和 \(H\) 上的 (外) 直和, 记作 \(G\oplus H\).
类似地可以对多个群进行直积/直和的定义.
群的同构: 若有双射 \(\sigma:G\mapsto\tilde{G}\) 满足 \(\forall a,b\in G,\sigma(ab)=\sigma(a)\sigma(b)\), 称 \(G\) 和 \(\tilde{G}\) 同构, 记作 \(G\cong\tilde{G}\).
同构的群的元素存在上述的对应关系, 并且运算性质仍然保持.
具体地, 记群 \(\tilde{G}\) 的单位元为 \(\tilde{e}\), 有下面几个性质:
- \(\sigma(e)=\tilde{e}\)
证明: \(\tilde{e}=\sigma(e)^{-1}\sigma(e)=\sigma(e)^{-1}\sigma(ee)=\sigma(e)^{-1}(\sigma(e)\sigma(e))=\tilde{e}\sigma(e)=\sigma(e)\).
- \(\forall a\in G,\sigma(a^{-1})=\sigma(a)^{-1}\)
证明: \(\sigma(a)\sigma(a^{-1})=\sigma(aa^{-1})=\sigma(e)=\tilde{e}=\sigma(a)\sigma(a)^{-1}\), 故 \(\sigma(a^{-1})=\sigma(a)^{-1}\).
- \(|a|=|\sigma(a)|\), 或者两者都为无限阶元素.
证明: 注意到 \(a^n=e\Lrarr\sigma(a^n)=\sigma(e)\Lrarr (\sigma(a))^n=\tilde{e}\) (\(\sigma\) 是双射) , 即得结论.
另外容易发现群的同构是群的集合上的等价关系. 此时它的等价类又称为同构类.
2. 环
设 \(R\) 是一个非空集合, 在 \(R\) 上定义两个代数运算加法和乘法, 满足:
- \((R,+)\) 构成交换群
- \(\forall a,b,c\in R,(ab)c=a(bc)\) (乘法的结合律)
- \(\forall a,b,c\in R,a(b+c)=(ab)+(ac),(b+c)a=(ba)+(ca)\) (乘法对加法的左分配律, 右分配律)
我们称 \(R\) 关于这两个运算构成了环. 容易证明, 零元唯一, 环中任意元素的负元唯一.
若还满足 \(\forall a,b\in R,ab=ba\), 称该环为交换环.
方便起见, 我们规定 \(a-b=a+(-b)\), 并规定对于正整数 \(n\), \(na=(n-1)a+a\ (n\geqslant2)\), \(1a=a\).
两种运算加法和乘法通过分配律产生联系.
比如 \(0a=(0+0)a=0a+0a\Rarr0a=0\).
另外也很容易证明 \((-a)b=-(ab)\).
需要注意的是上面 \(na\) 这个定义, 其中 \(n\) 是正整数. 它也有很多很好的性质 (以下 \(m,n\) 均为正整数):
- \((m+n)a=ma+na\)
- \(m(a+b)=ma+mb\)
- \((mn)a=m(na)\)
- \(m(ab)=(ma)b=a(mb)\)
若 \(\exist e\in R,ea=ae=a\), 称 \(e\) 为 \(R\) 的单位元. 含有单位元的环称为含幺环. 容易发现含幺环的单位元唯一.
若环的单位元就是零元, 那么这个环是平凡的零环, 因为对任意元素 \(a\in R\) 有 \(a=ea=0a=0\). 因此下面我们主要讨论不是零环的环.
设 \(R\) 是含幺环且不是零环. 对于 \(a\in R\), 若 \(\exist b\in R,ab=ba=e\), 称 \(a\) 是可逆元, \(b\) 是 \(a\) 的逆元, 记作 \(b=a^{-1}\). 容易发现可逆元的逆元唯一.
设 \(R\) 是一个环, 对于 \(a\in R\), 若 \(\exist c\in R,c\neq 0\) 有 \(ac=0/ca=0\), 称 \(a\) 是一个左/右零因子. 显然 \(0\) 是零因子.
一个重要结论是, 零因子不是可逆元. 等价的说法是, 可逆元不是零因子.
证明: 只考虑左零因子的情况. 设 \(a\) 是左零因子, \(\exist c\in R,c\neq 0\) 满足 \(ac=0\).
若 \(a\) 是可逆元, 则 \(c=ec=(a^{-1}a)c=a^{-1}(ac)=0\), 矛盾.
环的直和 (直积) : 设有两个环 \(R,S\), 在 \(R\times S\) 上定义加法 \((r_1,s_1)+(r_2,s_2)=(r_1+s_1,r_2+s_2)\) 和乘法 \((r_1,s_1)(r_2,s_2)=(r_1r_2,s_1s_2)\), 容易发现 \(R\times S\) 关于这两个运算也构成了一个环, 记作 \(R\oplus S\).
同样地我们也可以对多个环的直和进行定义.
环的同构: 若有双射 \(\sigma:R\mapsto\tilde{R}\) 满足 \(\forall a,b\in R,\sigma(a+b)=\sigma(a)+\sigma(b),\sigma(ab)=\sigma(a)\sigma(b)\), 称 \(R\) 和 \(\tilde{R}\) 同构, 记作 \(R\cong\tilde{R}\). 同构的环的元素存在上述的对应关系, 并且运算性质仍然保持.
环的单位群: 环的所有可逆元关于环的乘法构成群 (显然) .
3. 域
域是对环进行了更多的限制.
设 \(F\) 是含幺交换环且不是零环. 若 \(F\) 中的每个非零元都是可逆元, 称 \(F\) 是一个域. 若 \(\forall a\in F,a\in\mathbb{C}\), 称 \(F\) 是数域.
根据前面零因子不是可逆元的结论, 上述条件也是说 \(F\) 中的每个非零元都不是零因子.
域的特征:
设 \(F\) 的单位元是 \(e\). 有两种情况:
- \(\forall n\in \mathbb{N}^*,ne\neq 0\)
- \(\exist p\in \mathbb{N}^*,pe=0\), 且 \(\forall l\in \mathbb{N}^*,l<p,le\neq0\), 其中 \(p\) 是素数.
这里解释为什么 \(p\) 是素数.
若 \(p\) 是合数, 设 \(p=p_1p_2\), 则 \((p_1e)(p_2e)=(p_1p_2)(ee)=pe=0\), 又有 \(p_1e\neq0,p_2e\neq0\), 知 \(p_1e\) 是零因子, 与 \(F\) 是域矛盾. 另外若 \(p=1\) 则 \(e=pe=0\), 矛盾.
由此我们对上面两种情况分别定义 \(F\) 的特征为 \(0\) 或 \(p\), 记作 \(\text{char }F=0\) 或 \(\text{char }F=p\).
有趣的是, 若有 \(\text{char }F=p\), 则 \(\forall a\in F,pa=0\).
证明很简单, 直接有 \(pa=p(ea)=(pe)a=0a=0\).
一个显而易见的推论是此时有 \((a+b)^p=a^p+b^p\).
3. 简单应用
但是我们上面都是在列举定义和性质, 下面我们要具体一些了.
我们考虑模 \(m\) 剩余类 \(\mathbb{Z}_m\), 容易发现这是个环.
我们把里面的可逆元都拿出来, 记作 \(\mathbb{Z}_m^*\), 显然这是个群, 是上面的环的单位群.
我们对 \(\bar{a}\in\mathbb{Z}_m\), 考虑 \(\bar{a}\in\mathbb{Z}_m^*\) 的充分必要条件. 容易猜出充分必要条件就是 \((a,m)=1\).
证明:
若 \((a,m)=1\), 由裴蜀定理知 \(\exist\bar{u},\bar{v}\in\mathbb{Z}_m,\bar{1}=\bar{u}\bar{a}+\bar{v}\bar{m}=\bar{u}\bar{a}\), 故 \(\bar{a}\) 是可逆元. 这一步是纯数论.
另一个方向我们证逆否命题, 设 \(a=a_1d,m=m_1d,d\neq1\). 则 \(\overline{m_1}\neq\bar{0}\). 注意到 \(\bar{a}\overline{m_1}=\overline{a_1}\bar{m}=\bar{0}\), 知 \(\bar{a}\) 是零因子, 不是可逆元. 证毕.
可以看出对另一个方向的证明我们就使用了环的相关知识.
另一个问题是 \(\mathbb{Z}_m\) 何时是域. 不过已知了上面的结论, 很显然充分必要条件是 \(m\) 是素数.
有了上面的基础认识, 我们来看一个经典的例子: 计算欧拉函数 \(\varphi(m)\).
首先根据上面的结论显然有 \(\varphi(m)=|\mathbb{Z}_m^*|\), 即 \(\varphi(m)\) 是 \(\mathbb{Z}_m\) 中可逆元的个数. 不过只知道这个是远远不够的.
考虑对 \(m\) 的不同取值进行讨论.
首先 \(\varphi(p)=p-1\) 显然, 因为 \(\mathbb{Z}_p\) 是域.
对于 \(\varphi(p^r)\) 我们使用数论方法. \((a,p^r)\neq1\Lrarr(a,p)\neq1\Lrarr p|a\), 这样就计算出了和 \(p^r\) 不互质的数的个数, 于是 \(\varphi(p^r)=p^r-p^{r-1}\).
最后我们证明 \(\varphi(m_1m_2)=\varphi(m_1)\varphi(m_2)\), 其中 \((m_1,m_2)=1\) (积性函数).
根据之前的结论, \(\varphi(m_1)=|\mathbb{Z}_{m_1}^*|\), \(\varphi(m_2)=|\mathbb{Z}_{m_2}^*|\).
自然地, 我们尝试证明 \(\varphi(m_1)\varphi(m_2)=|(\mathbb{Z}_{m_1}\oplus\mathbb{Z}_{m_2})^*|\).
考察 \(\mathbb{Z}_{m_1}\oplus\mathbb{Z}_{m_2}\) 的一个可逆元 \((\tilde{a_1},\tilde{\tilde{a_2}})\), 则存在 \((\tilde{b_1},\tilde{\tilde{b_2}})\in\mathbb{Z}_{m_1}\oplus\mathbb{Z}_{m_2}\), 使 \((\tilde{a_1},\tilde{\tilde{a_2}})(\tilde{b_1},\tilde{\tilde{b_2}})=(\tilde{1},\tilde{\tilde{1}})\), 即 \((\tilde{a_1}\tilde{b_1},\tilde{\tilde{a_2}}\tilde{\tilde{b_2}})=(\tilde{1},\tilde{\tilde{1}})\).
显然这等价于 \(\tilde{a_1},\tilde{\tilde{a_2}}\) 分别是 \(\mathbb{Z}_{m_1}\) 和 \(\mathbb{Z}_{m_2}\) 中的可逆元. 根据乘法原理即得结论.
已经得到了 \(\varphi(m_1)\varphi(m_2)\) 的一个比较好的解释. 很明显只需要证明出 \(\mathbb{Z}_{m_1m_2}\cong\mathbb{Z}_{m_1}\oplus\mathbb{Z}_{m_2}\) 我们就基本上大功告成了.
构造 \(\mathbb{Z}_{m_1m_2}\) 向 \(\mathbb{Z}_{m_1}\oplus\mathbb{Z}_{m_2}\) 的对应关系 \(\sigma: \bar{x}\mapsto(\tilde{x},\tilde{\tilde{x}})\). 首先证明这是一个单射.
\(\bar{x}=\bar{y}\Lrarr m_1m_2|x-y\Lrarr m_1|x-y, m_2|x-y\Lrarr \tilde{x}=\tilde{y}, \tilde{\tilde{x}}=\tilde{\tilde{y}}\Lrarr(\tilde{x},\tilde{\tilde{x}})=(\tilde{y},\tilde{\tilde{y}})\), 其中第二步用到了 \((m_1,m_2)=1\) 的性质.
另外显然 \(|\mathbb{Z}_{m_1m_2}|=|\mathbb{Z}_{m_1}\oplus\mathbb{Z}_{m_2}|\), 则该映射为满射, 故 \(\sigma\) 为双射.
容易证明 \(\sigma(\bar{x}\bar{y})=\sigma(\bar{x})\sigma(\bar{y})\), \(\sigma(\bar{x}+\bar{y})=\sigma(\bar{x})+\sigma(\bar{y})\), 则环同构得证.
由环同构容易得出它们的单位群同构 (不证了), 进而得到 \(|\mathbb{Z}_{m_1m_2}^*|=|(\mathbb{Z}_{m_1}\oplus\mathbb{Z}_{m_2})^*|\), \(\varphi(m_1m_2)=\varphi(m_1)\varphi(m_2)\).
由此我们要求 \(\varphi(m)\), 只需将 \(m\) 质因数分解, 由积性和素数幂处取值即可计算.
