数论笔记2-最大公因数理论

上一篇实在是太简单了. 接下来我们将要进入最大公因数理论.

1. 最大公因数和最小公倍数#

首先我们需要明确公因数的定义.
设有 $a_1,\cdots,a_n$, 若 $d|a_1,\cdots,d|a_n$, 称 $d$ 为 $a_1,\cdots,a_n$ 的公因数.
我们记这些公因数组成的集合为 $\mathcal{D}(a_1,\cdots,a_n)$.
自然地, 我们定义这些数的公因数中最大的一个为最大公因数, 记作 $(a_1,\cdots,a_n)$.
特别地, 若 $(a_1,\cdots,a_n)=1$, 称这些数互素.
根据定义,有 $(a_1,\cdots,a_n)=\max(d:d\in\mathcal{D}(a_1,\cdots,a_n))$.
下面我们给出一些简单的性质.
1. $(a_1,a_2)=(a_2,a_1)=(-a_1,a_2)=(|a_1|,|a_2|)$
2. $a_1|a_j(2\leqslant j\leqslant n)\Rightarrow (a_1,\cdots,a_n)=|a_1|$
3. $(a_1,a_2)=(a_1,a_2,a_1x)$
4. $(a_1,a_2)=(a_1,a_2+a_1x)$
5. $(p,a_1)=\begin{cases}p,&p|a_1\\1,&p\nmid a_1\end{cases}$
6. $\mathcal{D}(a_1,\cdots,a_n)=\mathcal{D}(a:a=a_1x_1+\cdots+a_nx_n)$

其中性质1,3,4,5一般情况下同样成立.
这些性质就不予全部证明了. 大体来说, 证明的思路就是证明左右两边的公因数集合相等, 从而自然有最大公因数相等.
以性质4为例. 根据整除性质有 $d|a_1,d|a_2\Leftrightarrow d|a_1,d|a_2+a_1x$,
则 $\mathcal{D}(a_1,a_2)=\mathcal{D}(a_1,a_2+a_1x)$, 从而根据上面的分析得出结论.
另外性质6可以认为是性质4的自然推论. 这条性质比较本质, 非常重要. 比如下面这条不那么显然的定理:
7. $a_1x_1+\cdots+a_nx_n=1\Rightarrow (a_1,\cdots,a_n)=1$
证明其实非常简单: 根据上述性质6有 $\mathcal{D}(a_1,\cdots,a_n)=\{1,-1\}$, 于是就得出了结论.

接下来我们再给出一条最大公因数的性质并给予证明.
8. $m|(a_1,\cdots,a_n)\Rightarrow m(a_1/m,\cdots,a_n/m)=(a_1,\cdots,a_n)$
证明的思路是两次运用性质1.1.6 (即第1篇笔记标题1性质6, 之后都会这样编号), 即用整除得到左边小于等于右边, 右边小于等于左边, 于是就证明了结论. (这时初等数论中一种很常见的证明方法)
证明: 记 $D=(a_1,\cdots,a_n), d=(a_1/m,\cdots,a_n/m)$.
根据条件有 $m|D$, 又根据 $D$ 的定义知 $D|a_j$, 则 $m|a_j(1\leqslant j\leqslant n)$.
运用整除性质有 $(D/m)|(a_j/m)$, 则根据 $d$ 的最大性有 $D/m\leqslant d$, 即 $D\leqslant md$.
另一方面, 有 $d|(a_j/m)$, 则根据整除性质有 $md|a_j$, 根据 $D$ 的最大性有 $md\leqslant D$.
综上所述有 $md=D$, 证毕.

简单讨论完了最大公因数, 接下来我们来讨论最小公倍数.
设有 $a_1\cdots a_n\neq0$, 若有 $a_1|l,\cdots,a_n|l,$ 称 $l$ 是 $a_1,\cdots,a_n$ 的公倍数.
我们记这些公倍数组成的集合为 $\mathcal{L}(a_1,\cdots,a_n)$.
我们定义这些数的正公倍数中最小的一个为最小公倍数, 记作 $[a_1,\cdots,a_n]$.
相对来说, 最小公倍数的性质没有最大公因数那么好. 但是我们仍然有下面的结论:
9. $[a_1,a_2]=[a_2,a_1]=[-a_1,a_2]=[|a_1|,|a_2|]$
10. $a_j|a_1(2\leqslant j\leqslant n)\Rightarrow [a_1,\cdots,a_n]=|a_1|$
11. $d|a_1\Rightarrow [a_1,a_2]=[a_1,a_2,d]$
12. $[ma_1,\cdots,ma_n]=m[a_1,\cdots,a_n]$

性质9和11在一般情况下同样成立. 这些性质的证明和最大公因数对应性质类似, 我们这里只对性质12进行证明.
证明: 记 $L=[ma_1,\cdots,ma_n], l=[a_1,\cdots,a_n]$.
一方面有 $ma_j|L\Rightarrow a_j|(L/m)\Rightarrow l\leqslant(L/m)\Rightarrow ml\leqslant L$,
另一方面有 $a_j|l\Rightarrow ma_j|ml\Rightarrow L\leqslant ml$.
则 $L=ml$, 证毕.

2. 辗转相除法#

在对最大公因数进行进一步讨论之前, 我们先介绍一下辗转相除法这一工具.
设有 $u_0,u_1$，$u_1\neq0$. 我们重复应用带余除法:
$\begin{aligned}u_0&=q_0u_1+u_2, &0<u_2<|u_1|\\u_1&=q_1u_2+u_3, &0<u_3<u_2\\&\vdots\\u_{k-1}&=q_{k-1}u_k+u_{k+1}, &0<u_k<u_{k-1}\\u_k&=q_ku_{k+1}, &0<u_{k+1}<u_k\end{aligned}$
注意到$|u_1|>u_2>\cdots>u_k>u_{k+1}>0$, 则该过程必会停止, 不会无限重复下去.
有了辗转相除法, 我们可以推知以下结论:
1. $(u_0,u_1)=(u_1,u_2)=\cdots=(u_k,u_{k+1})=u_{k+1}$
2. $d|u_0,d|u_1\Leftrightarrow d|(u_0,u_1)$
3. $\exist x_0,x_1$ 使 $u_0x_0+u_1x_1=(u_0,u_1)$

性质1实际推导的时候需要倒过来. 根据性质1.1和1.4, 我们有 $(u_{k-1},u_k)=(u_k,q_{k-1}u_k+u_{k+1})=(u_k,u_{k+1})$. 然后剩下的就显然了.
性质2利用性质1和整除的性质是显然的. 注意, 这个性质说明了两个数的公因数一定是最大公因数的因数, 这是我们在第3节最大公因数理论中将要讨论的一个定理的特殊情况.
性质3可以从线性组合的角度来理解. $u_{k+1}$ 可表示为 $u_k$ 和 $u_{k-1}$ 的线性组合, $u_k$ 可表示为 $u_{k-1}$ 和 $u_{k-2}$ 的线性组合, 以此类推, 知 $u_{k+1}$ 可表示为 $u_0$ 和 $u_1$ 的线性组合. 证毕.
性质3可以应用于解不定方程. 这个之后再讨论.

3. 最大公因数理论#

在这一章, 我们对最大公因数理论进行收尾. 我们会给出8个最大公因数的重要性质, 并证明之.
根据二潘初等数论的介绍, 我们实际上有3种方法来建立这套理论. 我们这里只选取最简单的一种 (只用到整除, 带余除法和之前介绍过的一些最大公因数的性质), 其他的方法可以到原书进行了解.
首先给出定理内容: (注: 为了方便, 我们用 $a_j$ 来表示每一个 $a$, 就不写范围了)
1. $a_j|c\Leftrightarrow [a_1,\cdots,a_k]|c$
2. $D=(a_1,\cdots,a_k)\Leftrightarrow D|a_j;d|a_j\Rightarrow d|D$
3. $m(b_1,\cdots, b_k)=(mb_1,\cdots,mb_k)$
4. $(a_1,\cdots,a_k)=((a_1,a_2),a_3,\cdots,a_k)$ 推论: $(a_1,\cdots,a_k)=((a_1,\cdots,a_l),(a_{l+1},\cdots,a_k))$
5. $(m,a)=1\Rightarrow (m,ab)=(m,b)$
6. $(m,a)=1, m|ab\Rightarrow m|b$ 推论: $(m_1,m_2)=1,m_1|n,m_2|n\Rightarrow m_1m_2|n$
7. $[a_1,a_2](a_1,a_2)=|a_1a_2|$
8. $(a_1,\cdots,a_k)=min(s:s=a_1x_1+\cdots+a_kx_k,s>0)$ 推论: $\exist x_1,\cdots,x_k$ 使 $a_1x_1+\cdots+a_kx_k=(a_1,\cdots,a_k)$

我们首先证明性质1, 然后性质2至性质7都可以通过此推出. 性质8需要进行额外的证明.

性质1: 设 $L=[a_1,\cdots,a_k]$.
必要性: $L|c,a_j|L\Rightarrow a_j|c$, 证毕.
充分性: 设 $c=ql+r,0\leqslant r<L$. 则 $a_j|c,a_j|L\Rightarrow a_j|r$, 即 $r$ 为一个公倍数. 但又有 $r<L$, 则只能有 $r=0$. 故 $L|c$, 证毕.
实际上性质1就是说公倍数是最小公倍数的倍数.

性质2:
必要性: 由 $D|a_j$ 知 $D$ 是公因数; 由 $d|D$ 知 $|d|\leqslant D$, 而 $d$ 是任一公因数, $D$ 比任一公因数的绝对值都大, 则 $D=(a_1,\cdots,a_k)$. 证毕.
充分性: 设全体公因数为 $d_1,\cdots,d_s$. 令$L=[d_1,\cdots,d_s]$. 由性质1知 $L|a_j$, 又有 $d_j|L$, 则根据必要性的证明有 $L=(a_1,\cdots,a_k)$, 也即最大公因数满足右边的性质. 证毕. (这个证明方法可能有点抽象)
性质2告诉我们公因数是最大公因数的因数.

性质3:
考虑运用上面的性质1.8. 令 $a_j=mb_j$. 有 $m(b_1,\cdots,b_k)=m(a_1/m,\cdots,a_k/m)$.
但是为了能利用上面的性质, 我们还要满足 $m|(a_1,\cdots,a_n)$ 这个前提. 注意到 $m|a_j$, 则运用性质2有 $m|(a_1,\cdots,a_k)$. 这样条件满足了.
则 $m(a_1/m,\cdots,a_k/m)=(a_1,\cdots,a_k)=(mb_1,\cdots,mb_k)$. 证毕.
实际上性质1.8与性质3就差在了性质2上.

性质4:
采用经典证法.
一方面, 设有 $d|a_j$, 由性质2有 $d|(a_1,a_2)$, 即左边的公因数一定是右边的公因数.
另一方面, 设有 $d|(a_1,a_2)$, 又因为 $(a_1,a_2)|a_1, (a_1,a_2)|a_2$, 则 $d|a_1, d|a_2$, 即右边的公因数一定是左边的公因数.
公因数集相等知最大公因数相等. 证毕.
推论自然成立.

性质5:
若 $m=0$, 则 $a=\pm1$, 显然成立. 否则, 有 $(m,b)=(m,b(m,a))=(m,mb,ab)=(m,ab)$. 证毕. (这里主要运用了性质3和1.3)

性质6:
$|m|=(m,ab)=(m,b)\Rightarrow m|b$. 证毕. (这里主要运用了性质5)
更常用的是推论. 证明如下:
$m_1|n\Rightarrow n=km_1\Rightarrow m_2|km_1\Rightarrow m_2|k\Rightarrow m_1m_2|m_1k\Rightarrow m_1m_2|n$. 证毕.

性质7:
首先考虑 $(a_1,a_2)=1$ 的情况. 此时令 $L=[a_1,a_2]$, 根据性质1有 $L|a_1a_2$. 又有 $a_1|L,a_2|L$, 根据性质6推论有 $a_1a_2|L$. 则 $L=|a_1a_2|$. 该情况证毕.
当 $(a_1,a_2)\neq1$ 时, 有 $(a_1/(a_1,a_2),a_2/(a_1,a_2))=1$, 则 $[a_1/(a_1,a_2),a_2/(a_1,a_2)]=|a_1a_2|/(a_1,a_2)^2$. 将平方项移到左边并运用性质1.12, 有 $[a_1,a_2](a_1,a_2)=|a_1a_2|$. 证毕.
注意这是一个专用于两个数情况的定理. 多个数就不一定了.

性质8:
我们利用性质 2.1.6. 记 $S=\{s|s=a_1x_1+\cdots+a_kx_k\}$. 显见 $0<a_1^2+\cdots+a_k^2\in S$, 则 $S$ 中有正整数. 令其中最小的正整数为 $s_0$.
取任一公因数 $d|a_j$, 根据整除性质有 $d|s_0$, 则 $|d|\leqslant s_0$.
设 $a_j=q_js_0+r_j, 0\leqslant r_j<s_0$. 显然 $r_j=a_j-q_js_0\in S$, 则因为 $s_0$ 是最小正整数, 只能有 $r_j=0$. 故 $s_0|a_j$, 即 $s_0$ 是公因数.
根据上面的 $|d|\leqslant s_0$, 知 $s_0=(a_1,\cdots,a_k)$. 证毕.

这样我们就完成了对最大公因数理论的介绍.