文艺平衡树

前置知识：普通平衡树。

实际上，平衡树能做到的操作不只有插入删除，查排名查值，前驱后继这些。
如果我们把平衡树移到区间上，我们甚至能够支持比线段树更强的操作——区间翻转。
这就是文艺平衡树这道题了。

1. 区间树

首先我们来明确一下区间树的概念。
顾名思义，区间树就是用来维护区间的。
具体地，我们规定平衡树的中序遍历得到的数列就是我们所维护的数组。
比如下面这一棵树：

中序遍历得 \(1\ 3\ 5\ 4\)，也就是说这棵平衡树就维护了 \(1\ 3\ 5\ 4\) 这个数组。
需要注意的是，这里我们的平衡树只是用来维护数列的一个结构；可以看到，数列中的数本身是并不符合 BST 特性的。
或者说，满足 BST 特性的是数组下标，而不是数组中的值。

2. 思路

和线段树一样，我们也需要引用区间翻转的懒标记 rev。
具体操作的时候，我们将区间对应的这棵树提取出来（不同的数据结构有不同的做法），然后打上标记。
下传标记的时候，只需要交换左右子树，把标记传到子树上即可。

下传标记的代码：

inline void pushdown(int x)
{
    swap(tree[x].l,tree[x].r);//交换左右子树，是 l,r 还是 ch[0],ch[1] 依数据结构而定
    tree[tree[x].ch[0]].rev^=1;//下传标记，注意这个时候如果子树上也有标记那么两个标记就抵消了
    tree[tree[x].ch[1]].rev^=1;
    tree[x].rev=0;
}

3. Splay 实现文艺平衡树

上文说到，打标记时需要将区间对应的树提取出来。
在 Splay 上操作是这样的：
设区间为 \([l,r]\)，那么我们先将 \(l-1\) 位置的结点 Splay 到根，再将 \(r+1\) 位置的结点 Splay 到 \(l-1\) 的子节点的位置上，那么此时 \(r+1\) 的左子树就代表了 \([l,r]\) 这个区间。
实际操作的时候，我们为了保证 \(l-1\) 和 \(r+1\) 总是存在，我们会在开头和结尾插入结点表示位置 \(0\) 和 \(n+1\)。
这时我们要旋转的结点的排名就变为了 \(l\) 和 \(r+2\)，这是需要注意的。

放上图以便理解：
首先我们有一棵维护区间的 Splay（结点数字表示数组下标）。

这时我们要翻转区间 \([1,3]\)。所以我们要先把 0 Splay 到根：

再把 4 Splay 到 0 的子节点的位置上：

这个时候我们发现 4 的左子树就是我们要操作的 \([1,3]\) 了。

接下来上代码：

int n,m,tot,rt;
struct node{int fa,ch[2],pos,val,cnt,siz,rev;}tree[maxn];//这个地方多了一个量 pos 来代表数组下标，方便操作
inline bool dir(int x,int f){return tree[f].ch[1]==x;}
inline void con(int x,int f,int s){tree[f].ch[s]=x;tree[x].fa=f;}
inline void pushup(int x){tree[x].siz=tree[tree[x].ch[0]].siz+tree[tree[x].ch[1]].siz+tree[x].cnt;}
inline void newnode(int &x,int f,int pos,int val){x=++tot;tree[x]=(node){f,{0,0},pos,val,1,1,0};}//当然 newnode 也要跟着改
inline void rotate(int x)
{
    int f=tree[x].fa,g=tree[f].fa,k=dir(x,f);
    con(tree[x].ch[k^1],f,k);con(x,g,dir(f,g));con(f,x,k^1);
    pushup(f);pushup(x);
}
inline void splay(int x,int top)
{
    if(!top)rt=x;
    while(tree[x].fa!=top)
    {
        int f=tree[x].fa,g=tree[f].fa;
        if(g!=top)dir(x,f)^dir(f,g)?rotate(x):rotate(f);
        rotate(x);
    }
}
inline void pushdown(int x)//pushdown 操作，之前说过
{
    swap(tree[x].ch[0],tree[x].ch[1]);
    tree[tree[x].ch[0]].rev^=1;
    tree[tree[x].ch[1]].rev^=1;
    tree[x].rev=0;
}
void ins(int pos,int val,int &now,int fa)
{
    if(!now){newnode(now,fa,pos,val);splay(now,0);}
    else if(pos<tree[now].pos)ins(pos,val,tree[now].ch[0],now);//注意因为这是棵区间树，我们要按照 pos 进行排序
    else if(pos>tree[now].pos)ins(pos,val,tree[now].ch[1],now);
    else{tree[now].cnt++;splay(now,0);}
}
int getnum(int rk)
{
    int now=rt;
    while(1)
    {
        if(tree[now].rev)pushdown(now);//记得 pushdown
        int lsiz=tree[tree[now].ch[0]].siz;
        if(rk==lsiz+1)return now;
        else if(rk<=lsiz)now=tree[now].ch[0];
        else{rk-=lsiz+1;now=tree[now].ch[1];}
    }
}
void modify_rev(int l,int r)
{
    int x=getnum(l),y,z=getnum(r+2);//这个 l 和 r+2 的意义前面已经说过了
    //不要借助于 tree 的下标来确定 x 和 z，因为如果那样做中间的结点就没有 pushdown 了
    splay(x,0);splay(z,x);
    y=tree[tree[rt].ch[1]].ch[0];tree[y].rev^=1;
}
void tour(int x)//中序遍历输出结果
{
    if(!x)return;
    if(tree[x].rev)pushdown(x);//记得要 pushdown
    tour(tree[x].ch[0]);
    if(tree[x].pos!=0&&tree[x].pos!=n+1)printf("%d ",tree[x].val);//记得把插入的结点 0 和 n+1 去掉
    tour(tree[x].ch[1]);
}

4. fhq_treap 实现文艺平衡树

有了上面 Splay 的铺垫，那么 fhq_treap 的做法就相当简单了。
fhq_treap 通过按大小分裂来取出我们需要的区间。
具体做法是，先按顺序分出一个大小为 l-1 的树，再从余下的部分按顺序分出一个大小为 r-l+1 的树，这棵树就是我们要处理的区间。
按大小分裂的写法和按权值分裂区别不大。直接看代码：

inline void split(int x,int siz,int &rx,int &ry)//按顺序分裂成两棵树 rx 和 ry，使 rx 的大小为给定的 siz
{
    if(!x){rx=ry=0;return;}
    if(tree[x].rev)pushdown(x);//注意了，带标记的要 pushdown
    if(tree[tree[x].l].siz<siz){rx=x;split(tree[x].r,siz-tree[tree[x].l].siz-1,tree[x].r,ry);}//只不过是递归的时候要处理一下 siz 值
    else{ry=x;split(tree[x].l,siz,rx,tree[x].l);}
    pushup(x);
}

剩下的就没什么好说的了。注意 pushdown 就行。

inline int merge(int x,int y)
{
    if(!x||!y)return x+y;
    if(tree[x].key<tree[y].key)
    {
        if(tree[x].rev)pushdown(x);//要 pushdown
        tree[x].r=merge(tree[x].r,y);pushup(x);return x;
    }
    else
    {
        if(tree[y].rev)pushdown(y);
        tree[y].l=merge(x,tree[y].l);pushup(y);return y;
    }
}
void ins(int pos,int val)//为了方便按大小分裂，插入时多给一个参数 pos
{
    int now,x,y;
    split(rt,pos,x,y);newnode(now,val);
    rt=merge(merge(x,now),y);
}
void modify_rev(int l,int r)
{
    int x,y,z;
    split(rt,l-1,x,y);split(y,r-l+1,y,z);//前面说的两次分裂
    tree[y].rev^=1;
    rt=merge(merge(x,y),z);
}
void tour(int x)//中序遍历输出结果，别忘了 pushdown
{
    if(!x)return;
    if(tree[x].rev)pushdown(x);
    tour(tree[x].l);
    printf("%d ",tree[x].val);
    tour(tree[x].r);
}