前缀函数与Z函数介绍

字符串算法果然玄学=_=
参考资料：
OI Wiki:前缀函数与KMP算法
OI Wiki:Z函数(扩展KMP)

0. 约定#

字符串的下标从 $0$ 开始。$|s|$ 表示字符串 $s$ 的长度。
对于字符串 $s$，记其每一个字符分别为 $s_0, s_1, \cdots, s_{|s|-1}$。
子串 $s_l, s_{l+1}, \cdots, s_{r-1}, s_r$ 简记为 $s[l:r]$。特别地，若 $l=0$，可记作 $s[:r]$；若 $r=|s|-1$，可记作 $s[l:]$。
对于字符串 $a, b$，$a+b$ 表示拼接操作，即将字符串 $b$ 拼接到字符串 $a$ 之后，构成新的字符串。
记构成的新字符串为 $c$，则上述拼接操作记为 $c\gets a+b$。
其中符号 $x\gets y$ 表示将 $y$ 的值赋给 $x$。
不论是字符还是字符串，皆不加引号。

1. 前缀函数#

1.1. 前缀函数的定义#

对于字符串 $s$，若存在一个非本身的子串 $t$ 使得 $t$ 既是 $s$ 的前缀又是 $s$ 的后缀，称 $t$ 为 $s$ 的一个 $\text{Border}$。
更加符号化地，对于一个长为 $n$ 的字符串 $s$，若存在 $m$ 使得 $m\neq n$ 且 $s[:m-1]=s[n-m:]$，
称 $s[:m-1]$ ($s[n-m:]$ 同理) 为 $s$ 的一个长度为 $m$ 的 $\text{Border}$。
对于一个字符串 $s$，定义 $\text{MaxBorder}(s)$ 为 $s$ 的 $\text{Border}$ 中最长的。
接下来定义前缀函数：
对于一个字符串 $s$，定义前缀函数 $\pi(s,i)=\left|\text{MaxBorder}(s[:i])\right|$ 。
在不引起歧义的情况下，可简记为 $\pi(i)$；特别地，定义 $\pi(s,0)=0$。
有时我们关心一整个字符串的前缀函数值，故此时我们也可以记 $\pi(s)=\{\pi(s,0), \pi(s,1), \cdots, \pi(s,|s|-1)\}$。

举一个实例：$\pi(\texttt{abacaba})=\{0,0,1,0,1,2,3\}$。

1.2. 前缀函数的重要性质#

显然直接根据定义计算前缀函数的时间复杂度是不能接受的，于是我们需要依赖一些有用的性质来加速计算。
主要的性质有下面两个：

1. $\pi(i+1)\leqslant\pi(i)+1$，且仅当 $s_{\pi(i)}=s_{i+1}$ 时有 $\pi(i+1)=\pi(i)+1$。
2. 令 $j$ 为 $s[:i]$ 次长的 $\text{Border}$ 的长度，则 $j=\pi(\pi(i)-1)$。

第一个性质是显然的。第二个性质由 $s[:j-1]=s[i-j+1:i]=s[\pi(i)-j:\pi(i)-1]$ 自然导出。

1.3. 快速求前缀函数#

这样我们就有了快速求前缀函数的算法：
我们从前向后迭代求。假设我们已经求出了 $\pi(0), \pi(1), \cdots, \pi(i-1)$，现在要求 $\pi(i)$。
令 $j=\pi(i-1)$。如果 $s_i=s_j$，则 $\pi(i)=j+1$。
否则，令 $j\gets \pi(j-1)$，重复以上判断直到满足 $s_i=s_j$ 或 $j=0$。
若 $j=0$，则 $\pi(i)=0$。

如此重复直到前缀函数全部计算完成。可以证明，时间复杂度为 $O(n)$。

code:

void prefix()
{
    for(int i=1;i<=n-1;i++)
    {
        int j=pi[i-1];
        while(j>0&&s[i]!=s[j])j=pi[j-1];
        if(s[i]==s[j])j++;
        pi[i]=j;
    }
}

1.4. 前缀函数的应用#

1.4.1. KMP#

luoguP3375
一般的方法是通过 $\pi(i)$ 优化匹配，这里就不介绍了。
我们有个简单粗暴地多的方法。
假设模式串为 $s$，文本串为 $t$，$s$ 的长度为 $n$，$t$ 的长度为 $m$。
构造字符串 $a\gets s+\#+t$，其中 $\#$ 是 $s,t$ 中均不会出现的字符。
然后求 $a$ 的前缀函数，若$\pi(a,i)=n$，则 $s$ 在 $t$ 的 $i-2n$ 处出现。
总时间复杂度 $O(n+m)$。代码略。
优化：注意到前缀函数是可以一个一个字符在线处理的，所以空间复杂度可优化到 $O(n)$。

1.4.2 字符串的周期#

luoguP4391
对于字符串 $s$，若 $\exist p,\ 0<p\leqslant |s|$ 使 $\forall i\in [0,|s|-p-1],\ s_i=s_{i+p}$，则称 $p$ 是 $s$ 的周期。
运用 $\text{Border}$ 理论，可以发现，若 $s$ 存在一个长为 $l$ 的 $\text{Border}$，则 $|s|-l$ 是 $s$ 的周期。
我们应用之前的结果，可知 $|s|-\pi(|s|-1),\ |s|-\pi(\pi(|s|-1)-1),\cdots$ 为 $s$ 的周期，其中最小的周期为 $|s|-\pi(|s|-1)$。

1.4.3 统计每个前缀的出现次数#

根据前缀函数的定义及其性质，以 $i$ 为右端点有长度为 $\pi(i),\ \pi(\pi(i)-1),\cdots$ 的前缀。
我们不能按照端点来统计，因为在极端情况下，如 $\texttt{aaaaaa}$，时间复杂度达到了平方级别。
但是注意到每一个长为 $i$ 的前缀的出现中也一定包含长为 $\pi(i-1)$ 的前缀的出现，因此我们可以考虑用较长的前缀的值来更新较短的前缀的值。（具体见代码）
最后别忘了加上每个前缀在初始位置出现的一次。
code:

for(int i=1;i<n;i++)ans[pi[i]]++;
for(int i=n-1;i>0;i--)ans[pi[i-1]]+=ans[i];
for(int i=1;i<=n;i++)ans[i]++;

2. Z函数#

2.1. Z函数的定义#

定义 $\text{lcp}(a,b)$ 为字符串 $a, b$ 的最长公共前缀。
定义Z函数：
对于字符串 $s$，定义Z函数 $z(s,i)$ 为 $\text{lcp}(s,s[i:])$ 的长度。
在不引起歧义的情况下，可简记为 $z(i)$；特别地，定义 $z(s,0)=0$。
根据以上定义，我们有 $s[:z(i)-1]=s[i:i+z(i)-1]$；对此我们称 $\text{Z-box}(i)=s[i:i+z(i)-1]$。
有时我们关心一整个字符串的Z函数值，故此时我们也可以记 $z(s)=\{z(s,0), z(s,1), \cdots, z(s,|s|-1)\}$。

举一个实例：$z(\texttt{abacaba})=\{0,0,1,0,3,0,1\}$。

2.2. 快速求Z函数#

想要快速求出Z函数的值，我们需要充分发掘Z函数的性质以使信息得到高效利用。
考虑若$l \leqslant i \leqslant l+z(l)-1$，即 $i$ 在 $\text{Z-box}(l)$之内：
方便起见，设 $r=l+z(l)-1$。
根据Z函数的定义有 $s[i-l:r-l]=s[i:r]$，则 $s[i-l:i-l+z(i)-1]=\text{Z-box}(i)=s[:z(i)-1]$。
很明显，若 $z(i-l)<r-i+1$，则直接有 $z(i)=z(i-l)$；否则，我们能得到 $z(i) \geqslant r-i+1$，想要得出具体数值还需向后枚举。

为了更好地利用上述性质，我们可以在计算过程中维护最大的 $r$。具体操作如下：
初始时令 $l=r=0$。
从前到后开始计算。若 $i\leqslant r$，利用上述性质进行计算。否则，暴力枚举。
如果新的 $r$ 比之前的更大，即 $i+z(i)-1>r$，更新 $l=i,\ r=i+z(i)-1$。
code:

z[0]=l=r=0;
for(int i=1;i<n;i++)
 {
    if(r>i)z[i]=min(z[i-l],r-i+1);//简便起见，我们可以直接让z[i]取为z[i-l]和r-i+1中较小的一个
    for(;b[i+z[i]]==b[z[i]];z[i]++);//暴力枚举
    if(i+z[i]-1>r){l=i;r=i+z[i]-1;}//更新l,r
}

可以看到每个字符只会被暴力匹配一次，因此复杂度为 $O(n)$。

这个网站有对该算法的演示。
luoguP5410
对于这道题，我们还要求 $b$ 与 $a$ 的每一个后缀的 $\text{lcp}$。可以对之前的算法进行修改，也可以直接把 $a$ 接到 $b$ 的后面来做。