狄利克雷卷积与莫比乌斯反演(理论篇)
在之前的blog中已经对数论函数进行了简单的介绍,这里对其进行更加深入的讨论。
定义两个数论函数的加法:(f+g)(n)=f(n)+g(n)
数乘:(xf)(n)=xf(n)
狄利克雷卷积(用符号∗表示):
若有t(n)=(f∗g)(n),则(f∗g)(n)=∑i∣nf(i)g(ni)=∑ij=nf(i)g(j)
有的时候我们会简写为t=f∗g,省略后面的括号。
接下来给出一些关于狄利克雷卷积的性质。证明略,毕竟公式太难打了(懒
1.交换律:f∗g=g∗f
2.结合律:(f∗g)∗h=f∗(g∗h)
3.分配律:(f+g)∗h=f∗h+g∗h
4.数乘性质:(xf)∗g=x(f∗g)
5.ε∗f=f(这就是ε被称为是“单位函数”的原因)
6.对于一个满足f(1)≠0的数论函数f,存在数论函数g使得f∗g=ε。
我们称g为f的狄利克雷逆元,或简称是f的逆。
不难证明g(n)=1f(1)([n=1]−∑i∣n,i≠1f(i)g(ni))
以上为狄利克雷卷积的最基本的性质。这里给出两个更加重要的性质:
7.两个积性函数的狄利克雷卷积是积性函数。
设t=f∗g,则:
t(nm)=∑d∣nmf(d)g(nmd)=∑a∣n,b∣mf(ab)g(nmab)=∑a∣n,b∣mf(a)f(b)g(na)g(mb)=(∑a∣nf(a)g(na))(∑b∣mf(b)g(mb))=t(n)t(m)
8.积性函数的逆是积性函数。
设f∗g=ε,其中已知f是积性函数,于是f(1)=1。
根据那个逆元的式子有g(n)=[n=1]−∑i∣n,i≠1f(i)g(ni)。
使用数学归纳法。当nm=1时,g(nm)=g(1)=1,成立。
当nm>1时:
g(nm)=−∑i∣nm,i≠1f(i)g(nmi)=−∑a∣n,b∣m,ab≠1f(ab)g(nmab)=−∑a∣n,b∣m,ab≠1f(a)f(b)g(na)g(mb)=f(1)f(1)g(n)g(m)−∑a∣n,b∣mf(a)f(b)g(na)g(mb)=g(n)g(m)−ε(n)ε(m)=g(n)g(m)
这样我们就完成了证明。
我们定义1的逆为μ。由前面的性质知μ也是积性函数。
我们尝试求出μ(n)的值。因为这是个积性函数,于是只需考虑μ(pk)即可。
直接代入定义,最终可得:
μ(pk)={1,k=0−1,k=10,k>1
于是
μ(n)={(−1)k,n=p1p2p3⋯pk0,otherwise
莫比乌斯反演:
g=f∗1⟺f=g∗μ这不是废话吗
展开来写就是g(n)=∑d∣nf(d)⟺f(n)=∑d∣nμ(nd)g(d)
其实我们还有另一个方向上的莫反:
g(x)=∑x∣yf(y)⟺f(x)=∑x∣yμ(yx)g(y)
作者:pjykk
出处:https://www.cnblogs.com/pjykk/p/14378549.html
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