狄利克雷卷积与莫比乌斯反演（理论篇）
在之前的blog中已经对数论函数进行了简单的介绍，这里对其进行更加深入的讨论。
定义两个数论函数的加法：\(({\bf f}+{\bf g})(n)={\bf f}(n)+{\bf g}(n)\)
数乘：\((x{\bf f})(n)=x{\bf f}(n)\)
狄利克雷卷积（用符号\(*\)表示）：
若有\({\bf t}(n)=({\bf f}*{\bf g})(n)\)，则\(({\bf f}*{\bf g})(n)=\sum\limits_{i\mid n}{\bf f}(i){\bf g}(\dfrac{n}{i})=\sum\limits_{ij=n}{\bf f}(i){\bf g}(j)\)
有的时候我们会简写为\({\bf t}={\bf f}*{\bf g}\)，省略后面的括号。
接下来给出一些关于狄利克雷卷积的性质。证明略，毕竟公式太难打了（懒
1.交换律：\({\bf f}*{\bf g}={\bf g}*{\bf f}\)
2.结合律：\(({\bf f}*{\bf g})*{\bf h}={\bf f}*({\bf g}*{\bf h})\)
3.分配律：\(({\bf f}+{\bf g})*{\bf h}={\bf f}*{\bf h}+{\bf g}*{\bf h}\)
4.数乘性质：\((x{\bf f})*{\bf g}=x({\bf f}*{\bf g})\)
5.\(\varepsilon*{\bf f}={\bf f}\)（这就是\(\varepsilon\)被称为是“单位函数”的原因）
6.对于一个满足\({\bf f}(1)\neq0\)的数论函数\({\bf f}\)，存在数论函数\({\bf g}\)使得\({\bf f}*{\bf g}=\varepsilon\)。
我们称\({\bf g}\)为\({\bf f}\)的狄利克雷逆元，或简称是\({\bf f}\)的逆。
不难证明\({\bf g}(n)=\dfrac{1}{{\bf f}(1)}\left([n=1]-\sum\limits_{i\mid n,i\neq1}{\bf f}(i){\bf g}(\dfrac{n}{i})\right)\)
以上为狄利克雷卷积的最基本的性质。这里给出两个更加重要的性质：
7.两个积性函数的狄利克雷卷积是积性函数。
设\({\bf t}={\bf f}*{\bf g}\)，则：
\(\begin{aligned}{\bf t}(nm)&=\sum\limits_{d\mid nm}{\bf f}(d){\bf g}(\dfrac{nm}{d})\\&=\sum\limits_{a\mid n,b\mid m}{\bf f}(ab){\bf g}(\dfrac{nm}{ab})\\&=\sum\limits_{a\mid n,b\mid m}{\bf f}(a){\bf f}(b){\bf g}(\dfrac{n}{a}){\bf g}(\dfrac{m}{b})\\&=\left(\sum\limits_{a\mid n}{\bf f}(a){\bf g}(\dfrac{n}{a})\right)\left(\sum\limits_{b\mid m}{\bf f}(b){\bf g}(\dfrac{m}{b})\right)\\&={\bf t}(n){\bf t}(m)\end{aligned}\)
8.积性函数的逆是积性函数。
设\({\bf f}*{\bf g}=\varepsilon\)，其中已知\({\bf f}\)是积性函数，于是\({\bf f}(1)=1\)。
根据那个逆元的式子有\({\bf g}(n)=[n=1]-\sum\limits_{i\mid n,i\neq1}{\bf f}(i){\bf g}(\dfrac{n}{i})\)。
使用数学归纳法。当\(nm=1\)时，\({\bf g}(nm)={\bf g}(1)=1\)，成立。
当\(nm>1\)时：
\(\begin{aligned}{\bf g}(nm)&=-\sum\limits_{i\mid nm,i\neq1}{\bf f}(i){\bf g}(\dfrac{nm}{i})\\&=-\sum\limits_{a\mid n,b\mid m,ab\neq1}{\bf f}(ab){\bf g}(\dfrac{nm}{ab})\\&=-\sum\limits_{a\mid n,b\mid m,ab\neq1}{\bf f}(a){\bf f}(b){\bf g}(\dfrac{n}{a}){\bf g}(\dfrac{m}{b})\\&={\bf f}(1){\bf f}(1){\bf g}(n){\bf g}(m)-\sum\limits_{a\mid n,b\mid m}{\bf f}(a){\bf f}(b){\bf g}(\dfrac{n}{a}){\bf g}(\dfrac{m}{b})\\&={\bf g}(n){\bf g}(m)-\varepsilon(n)\varepsilon(m)\\&={\bf g}(n){\bf g}(m)\end{aligned}\)
这样我们就完成了证明。
我们定义\({\bf 1}\)的逆为\(\mu\)。由前面的性质知\(\mu\)也是积性函数。
我们尝试求出\(\mu(n)\)的值。因为这是个积性函数，于是只需考虑\(\mu(p^k)\)即可。
直接代入定义，最终可得：
\(\mu(p^k)=\begin{cases}1,k=0\\-1,k=1\\0,k>1\end{cases}\)
于是
\({\bf \mu}(n)=\begin{cases}(-1)^k,n=p_1p_2p_3\cdots p_k\\0,\text{otherwise}\end{cases}\)
莫比乌斯反演：
\({\bf g}={\bf f}*{\bf 1}\Longleftrightarrow{\bf f}={\bf g}*\mu\)这不是废话吗
展开来写就是\({\bf g}(n)=\sum\limits_{d\mid n}{\bf f}(d)\Longleftrightarrow{\bf f}(n)=\sum\limits_{d\mid n}\mu(\dfrac{n}{d}){\bf g}(d)\)
其实我们还有另一个方向上的莫反：
\({\bf g}(x)=\sum\limits_{x\mid y}{\bf f}(y)\Longleftrightarrow{\bf f}(x)=\sum\limits_{x\mid y}\mu(\dfrac{y}{x}){\bf g}(y)\)
