数学 - 随笔分类 - pjykk

摘要：这里我们先讨论一般情况 (但一点也不简单, 有很多厉害的定理), 二次剩余之后再说. 1. 一元同余方程的具体解法我们考虑一般的一元同余方程

f (x) \equiv 0 (\mod m)

$f(x)\equiv0\pmod m$ , 容易想到将

m

$m$ 素因数分解, 分别求解再进行合并. 这就需要下面的定理: 设 $m=m_1\cdots m_ 阅读全文

posted @ 2023-02-01 23:31 pjykk 阅读(261) 评论(0) 推荐(0) 编辑

数论笔记汇总

摘要：参考资料: 潘承洞潘承彪《初等数论》(第三版) (主要, 习题也是这上面的) 闵嗣鹤严士健《初等数论》(第四版) (补充作用) 大概评价一下两本书 (个人主观). 二潘的初等数论: 看上去很厚 (我手里的这本是北大博雅系列的, 厚度能有 3cm), 但是只看正文的话其实并没有那么多. 内容可阅读全文

posted @ 2023-02-01 23:29 pjykk 阅读(206) 评论(0) 推荐(0) 编辑

数论笔记6-一元一次同余方程(组)

摘要：1. 同余方程的基本认识与一元一次同余方程设

f (x) = \sum_{j = 0}^{n} a_{j} x^{j}

$f(x)=\sum\limits_{j=0}^na_jx^j$ . 我们称

f (x) \equiv 0 (\mod m)

$f(x)\equiv0\pmod m$ 为 (多项式) 同余方程. 若有整数

c

$c$ 满足

f (c) \equiv 0 (\mod m)

$f(c)\equiv0\pmod m$ , 称

c

$c$ 为同余方程的一个解. 显然阅读全文

posted @ 2023-01-31 20:53 pjykk 阅读(289) 评论(0) 推荐(0) 编辑

数论笔记5-同余理论

摘要：温馨提示: 这一篇是到目前为止内容最多的一章, 性质非常重要, 难度相较于前几篇也有不小的上升. 1. 同余若

m | a - b

$m|a-b$ , 称

a, b

$a,b$ 模

m

$m$ 同余,

b

$b$ 是

a

$a$ 对模

m

$m$ 的剩余, 记作

a \equiv b (\mod m)

$a\equiv b\pmod m$ . 反之记作 $a\not\equiv b\p 阅读全文

posted @ 2023-01-28 22:45 pjykk 阅读(424) 评论(0) 推荐(0) 编辑

数论笔记4-简单不定方程

摘要：1. 一次不定方程我们来考察一次不定方程

\sum_{j = 1}^{k} a_{j} x_{j} = c

$\sum_{j=1}^k a_jx_j=c$ . 首先考虑解的存在性. 我们有裴蜀定理: 原方程有解当且仅当

(a_{1}, \dots, a_{k}) | c

$(a_1,\cdots,a_k)|c$ . 证明是容易的. 根据 2.3.8 (即第2篇笔记标题3定理8), 解一定存在. (性质里得出的解乘上阅读全文

posted @ 2023-01-28 16:30 pjykk 阅读(62) 评论(0) 推荐(0) 编辑

数论笔记3-素因数分解式和取整函数

摘要：1. 素因数分解式的性质在第一篇里面我们证明了算术基本定理. 下面我们对素因数分解式进行更细致的考察. 首先我们对分解式中相同的素数进行合并, 得到

a = p_{1}^{α_{1}} \dots p_{s}^{α_{s}}, p_{1} < p_{2} < \dots < p_{s}

$a=p_1^{\alpha_1}\cdots p_s^{\alpha_{s}}, p_1<p_2<\cdots<p_s$ . 有以下性质: $d|a 阅读全文

posted @ 2023-01-28 10:41 pjykk 阅读(100) 评论(0) 推荐(0) 编辑

抽象代数笔记1-群环域的引入

摘要：复读自丘维声《近世代数》, 但是顺序略有调整. 这本书是在开头就引出了群环域的基本概念, 再在后面进行深入研究. ~~另外LaTeX真的难打.~~ 1. 等价关系二元关系: 设

W

$W$ 非空,

W \in S \times S

$W\in S\times S$ , 称

W

$W$ 为

S

$S$ 上的一个二元关系. 若 $(a,b)\in 阅读全文

posted @ 2022-07-22 10:02 pjykk 阅读(241) 评论(0) 推荐(0) 编辑

数论笔记2-最大公因数理论

摘要：上一篇实在是太简单了. 接下来我们将要进入最大公因数理论. 1. 最大公因数和最小公倍数首先我们需要明确公因数的定义. 设有

a_{1}, \dots, a_{n}

$a_1,\cdots,a_n$ , 若

d | a_{1}, \dots, d | a_{n}

$d|a_1,\cdots,d|a_n$ , 称

d

$d$ 为

a_{1}, \dots, a_{n}

$a_1,\cdots,a_n$ 的公因数. 我们记这些公因数组成的集合阅读全文

posted @ 2022-02-27 10:08 pjykk 阅读(1028) 评论(0) 推荐(0) 编辑

数论笔记1-整除、带余除法、素数

摘要：作为第一节, 这些都是相当基础的内容, 但是我们可以感受揣摩其定义, 推导的严谨性. 但是最后算术基本定理的证明还是需要技巧的. 1. 整除定义: 设

a, b \in Z, a \neq 0

$a,b\in\mathbb{Z}, a\neq 0$ , 若

\exists q \in Z

$\exist q\in\mathbb{Z}$ 使得

b = q a

$b=qa$ , 则称

b

$b$ 阅读全文

posted @ 2022-02-26 22:25 pjykk 阅读(399) 评论(1) 推荐(0) 编辑

矩阵板子

摘要：1. 矩阵快速幂、加速数列递推与高斯消元解线性方程组 1. 矩阵模板 struct matrix{int n,m,a[110][110];}; matrix input(int n,int m)//输入矩阵 { matrix A;A.n=n;A.m=m; for(int i=1ll;i<=A.n;i 阅读全文

posted @ 2021-02-18 15:52 pjykk 阅读(87) 评论(0) 推荐(0) 编辑

狄利克雷卷积与莫比乌斯反演（应用篇）

摘要：咕咕咕？咕咕咕！阅读全文

posted @ 2021-02-05 16:39 pjykk 阅读(56) 评论(0) 推荐(0) 编辑

狄利克雷卷积与莫比乌斯反演（理论篇）

摘要：在之前的blog中已经对数论函数进行了简单的介绍，这里对其进行更加深入的讨论。定义两个数论函数的加法：

(f + g) (n) = f (n) + g (n)

$({\bf f}+{\bf g})(n)={\bf f}(n)+{\bf g}(n)$ 数乘：

(x f) (n) = x f (n)

$(x{\bf f})(n)=x{\bf f}(n)$ 狄利克雷卷积（用符号$$表示）：若有${\ 阅读全文

posted @ 2021-02-05 16:36 pjykk 阅读(134) 评论(0) 推荐(0) 编辑

数论整理（理论篇）

摘要：后续：数论整理（代码篇）当然有的证明因为水平所限不是那么的严谨…… ~~要严谨去看数论教科书或者我写的笔记(宣传~~ 编号不一定与代码篇中的一致。参考资料：可以认为是各道模板的题解目前这一篇除了n次剩余和积性函数前缀和都已经更完了。 ##1. 快速幂和光速幂这个不应该算数论（快速幂：快速阅读全文

posted @ 2021-02-01 18:40 pjykk 阅读(325) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[luoguP4139] 上帝与集合的正确用法

摘要：

Description

$\text{Description}$

Given a number p (p ⩽ 10^{7}) .

$\text{Given a number }p(p\leqslant10^7).$

Output 2^{2^{2^{2^{\dots}}}} mod p .

$\text{Output }2^{2^{2^{2^{\cdots}}}}\bmod p.$

Method

$\text{Method}$ $\text{Use ex-Euler's T 阅读全文

posted @ 2019-12-15 11:52 pjykk 阅读(101) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[POJ3696] The Luckiest number

摘要：

Description

$\text{Description}$

Given a number L (L ⩽ 2, 000, 000, 000), find a number x, so that L | 8 \times (10^{x} - 1) / 9.

$\text{Given a number }L(L\leqslant 2,000,000,000),\text{find a number }x,\text{ so that }L|8\times(10^x-1)/9.$ $\text{Output the 阅读全文

posted @ 2019-12-15 11:01 pjykk 阅读(164) 评论(0) 推荐(0) 编辑

数论整理（代码篇）

摘要：理论方面的内容参见数论整理（理论篇） 1. 快速幂

O (\log b)

$O(\log b)$ 其实这个不应该算数论？ //递归实现 long long qpow(long long a,long long b,long long mod) { if(b==0)return 1; long long ans=qpow(a 阅读全文

posted @ 2019-07-21 22:39 pjykk 阅读(195) 评论(0) 推荐(0) 编辑

自然数幂和

摘要：警告：远古时期文章，内容过于naive，有的还没有严谨证明qaq 问题是这样的：求

0^{k} + 1^{k} + 2^{k} + \dots + n^{k}

$0^k+1^k+2^k+\dots +n^k$ 的通项公式。首先，这个因为n可能为0，所以通项公式一定是没有常数项的。继续观察可知，通项公式的次数是

k + 1

$k+1$ 。这样，我们设通项公式为$f(n)=\sum_{i=1}^ 阅读全文

posted @ 2019-06-13 23:14 pjykk 阅读(432) 评论(0) 推荐(1) 编辑

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