学习笔记——树上前缀和（模板）
Update 2020.10.6 删除赘余&第二种前缀和修改错误
Update 2021.8.4 美化版面
树上前缀和分两种：
1.从根向下，到某点的前缀和就是从根到这一点的这条路径上点（或者边）的权值之和
如果看着文字很难理解(雾），那我先放出一张我画的图（丑）
所以解法也很简单，从根开始DFS,向下搜，在搜的过程中累加，就可以了。
如果是边权的情况，那么就把边权给移到儿子节点上，根节点点权为0，当点权来写。
我们令 \(total[i]\) 表示第 \(i\) 号节点的前缀和，
则根节点前缀和就是本身（如果为边权的话就是0）。
再DFS从根向下搜，每次遍历每一个儿子节点之前加一句
total[temp]=ed[i].sum+total[xx];
dfs(temp);
类似数组前缀和思想。其中 \(temp\) 就是 \(xx\) 的儿子节点，用邻接表存，\(ed[i].sum\) 就是 \(i\) 号节点的权值（或者是它的父亲节点到它这条边上的权值）
所以只要在DFS时加上那句话就结束了。
code:（以一号节点为根，无向边，有根树，以有边权为例）
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <queue>
using namespace std;
const int N=200005;
const int M=25;
int Q,n,m,head[N],cnt,b[N],k,total[N];
struct node{//采取邻接表存储
int u,v,next,sum;
}ed[N];
void add_edge(int u,int v,int k)
{
cnt++;
ed[cnt].u=u;
ed[cnt].v=v;
ed[cnt].next=head[u];
ed[cnt].sum=k;
head[u]=cnt;
}
void dfs(int xx)
{
for(int i=head[xx];i!=0;i=ed[i].next)
{
int temp=ed[i].v;
if(b[temp]==0)
{
b[temp]=1;
total[temp]=ed[i].sum+total[xx];
dfs(temp);
}
}
}
int main()
{
cin>>n;
for(int i=1;i<n;i++)//n个点，n-1条边
{
int x,y,k;
scanf("%d%d%d",&x,&y,&k);//表示连接x,y有权值为k的边
add_edge(x,y,k);
add_edge(y,x,k);
}
b[1]=1;
dfs(1);
cin>>m;//m次询问前缀和
while(m--)
{
int x;
scanf("%d",&x);
cout<<total[x]<<endl;
}
return 0;
}
2.从底向上，某一点的前缀和就是以那个点为根的一棵子树上所有点权（或边权）之和。
再放一张画图用来描述：
如图，很明显，每个点的前缀和就是以它的所有儿子为根的子树权值和之和。
如果是边权的情况，那么就把边权给移到儿子节点上，根节点点权为0，当点权来写。
我们可以发现，没有儿子节点的前缀和就是它本身
在搜完回溯的时候再加回去就行了，与第一种写这句话的位置有区别
dfs(temp);
total[xx]+=total[temp];
并且，一开始，需要预处理出那些没有儿子节点的点，将它们的前缀和赋为自己本身
for(int i=2;i<=n;i++)//因为以一号节点为根的，所以1号节点必有儿子节点，从2号开始扫）
{
if(out[i]==1)//在输入时处理出度，如果出度为1，表明这个点只有一条跟别的点连接的边，则这个点一定没有儿子节点
{
total[i]=ed[i].sum;//赋值
}
}
code:（以一号节点为根，无向边，有根树，以有边权为例）
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <queue>
using namespace std;
const int N=200005;
const int M=25;
int n,head[N],cnt,dep[N],k,total[N],b[N],out[N];
struct node{
int u,v,next,w;
}ed[N];
void add_edge(int u,int v,int k)
{
cnt++;
ed[cnt].u=u;
ed[cnt].v=v;
ed[cnt].next=head[u];
ed[cnt].w=k;
head[u]=cnt;
}
void dfs(int xx)
{
for(int i=head[xx];i!=0;i=ed[i].next)
{
int temp=ed[i].v;
if(b[temp]==0)
{
b[temp]=1;
dfs(temp);
total[xx]+=total[temp];//一定要在dfs结束时前缀和！
}
}
}
int main()
{
cin>>n;
for(int i=1;i<n;i++)
{
int x,y,k;
scanf("%d%d%d",&x,&y,&k);
add_edge(x,y,k);
add_edge(y,x,k);
out[x]++;//出度的预处理，无向图，所以双向处理出度+1
out[y]++;
}
total[1] = ed[1].w;//根要单独处理
for(int i=2;i<=n;i++)
{
if(out[i]!=1)
{
total[i]=ed[i].w;//将所有不为叶子的节点，全赋上那个点的初值(因为是边权，都放到了父亲节点)
}
}
b[1]=1;
dfs(1);
int m;
cin>>m;
while(m--)
{
int x;
cin>>x;
cout<<total[x]<<endl;
}
return 0;
}
如果您还学过一些LCA，那您可以做一下LOJ#10130，简单的应用
