cv1
线性代数
逆矩阵：
对称：
基：线性无关且能表示出其他任意向量
正交基：22正交的基
任意3个正交的向量构成三维空间的1个正交基
内积=0 <=> 正交
a和单位向量的内积=a在单位向量的投影
标量场U(x,y,z)是数值，形成场的量为向量，称该场为向量场
方向导数是沿着某个方向的变化率，沿着某个方向的导数 ，若>0，则沿该方向函数值增大。
梯度是一个向量，指向函数值增长最快的方向，沿着梯度方向导数最大，且为该点最大方向导数
梯度 · 单位方向向量 = 方向导数，grad = ▽
argmax(f(x))：使得f(x)取最大值的x
已知几个点，平面上找到一条直线（或一个单位向量w），使得这些点到直线的距离平方和最小，即投影平方和最大，已知w是未知的单位向量：
目标函数：
求解目标函数最大时的w是多少，先纪为 v ：
根据
Av=λv：列向量v是A的一个特征向量，λ是相应的特征值；
n阶矩阵有n个特征值；实对称矩阵的特征值都是实数，且不同特征值对应的特征向量正交
所以答案是：
经典统计学
变量分为定性变量和定量变量，定量变量是数值型的，分为连续型变量和离散型变量；定性变量分为无序变量（无等级的，又分为二项分类，即只有2个取值，多项分类是有多个取值）和有序变量（按照等级不同分类，如坏、一般、好、很好）
要研究广州的男的婴儿的身高：
同质性：都广州的、都男的、都婴儿
异质性：同质性基础上个体的差异，他们的身高
对医生人群（研究总体）抽取一部分医生出来（这些个体构成的一份样本），研究规律，进而推广到更大范围的人群（目标总体）
样本空间=所有基本事件的集合，基本事件=样本点
总体均值就是所有取值的平均值
参数是总体的，如总体均值μ、总体标准差σ，统计量是样本的，如样本均值X把，样本标准差S
统计描述就是描述样本，如频率分布表、直条图
统计推断就是用统计量来估计总体参数
观察性研究=调查研究：是不施加干预的，如吸烟与否和得肺癌的概率；实验研究是施加干预的，如是否接种疫苗的情况下，对某疾病的研究
连续型变量的频率图：
可以直接酸，也可以用加权法计算算术平均，用组中值代替：7*0.83+9*2.5+..
直方图：此时纵轴是频率密度=频率 / 组距
几何均数：
加权法计算几何均数，f 是对应的频数：
中位数P50，即50%的数比它小（P75：75%比它小）：
数据排序后：
频率分布直方图中，中位数实现了切割，使得左右面积=0.5，即左边的累积频率=0.5
衡量一组数据的变异情况：极差（最大值-最小值，能反映整体覆盖的范围）、四分位数间距（P75-P25，反映了一半的人覆盖的范围）、方差（越大则变异越大）、标准差（方差开根号，为了使得和原变量量纲一致，表示平均一个个体离开均值有多远）、变异系数（可以比较不同组数据的变异，标准差/平均值，消除了量纲）
总体方差：
样本方差：
只要定了n-1个人，且知道均值，就知道最后那个数据了，所以自由度n-1，此处分母就是除以自由度
强度 = 发病人数 / 总共活的时间
下图4个杠代表1年：
频数：n次试验中，事件A发生的次数
排列组合：
概率：
A和B独立 <=> P(AB) = P(A) * P(B)
随机变量的取值是不固定的，但是是有概率规律的，分为离散型和连续型，第一次投色子的值是什么，可以记为X1,第二次X2
二项分布：
期望与方差分别为：np、np（1-p）
均值（做了n次实验，该事件平均发生的次数）和方差：
泊松分布用于描述罕见事件发生的次数：
均值=方差 =λ
服从泊松分布的相互独立的随机变量之和也服从泊松分布
3个分布关系：
分布函数 = 概率密度的积分：
均匀分布：
指数分布：
正态分布，μ是中心位置，方差越大，越矮胖：
Z变换：
正态分布中，μ+σ是曲线拐点
正态分布常用区间：
Zα：标准正态分布的上α分位点：
分布函数：
连续型分布函数 = 概率密度函数左边的积分
y = acsinx：
连续型随机变量函数例题：
二维随机变量（X,Y）：
连续性二维随机变量：
边缘分布：
条件分布：
X和Y独立 < == >
<==>
<==>
对于二维正态随机变量（X,Y），X与Y独立<==> ρ=0
数学期望：
方差：
相关系数：
相关系数=0 <=> 不相关
协方差：
中心极限定理（样本量足够大时，样本均值的分布近似正态分布）：
一堆随机变量独立同分布，则
一堆随机变量独立同分布，则
当n充分大时，随机变量之和服从正态分布
X~正态分布 => aX+b 服从正态分布
（简单随机）样本里面的随机变量们（X1,X2...）独立同分布IID，且都与总体同分布
频率 = 频数 / 总数
频率直方图中第一步是扩大区间形成的x轴范围用来包括所有数据：
频率直方图总面积=1
统计量是样本的函数，是一堆随机变量的函数，不含有未知参数:g(X1,X2,X3...)
下面都是统计量：
样本均值：
样本方差：
样本标准差：
对数公式：
统计推断包括参数估计和假设检验
一个样本含有多个个体，抽样误差指的是样本均值之间存在的误差，用标准误（样本均值的标准差=X把的标准差=根号下X把的方差）来表示抽样误差的大小
样本均数的均数=总体均值，而标准误（n是样本量，样本内的个体数，X把对应的分母）：
t分布：
X服从正态分布，则：
性质：
点估计：根据样本估计总体参数的一个值
似然函数L = 样本的概率密度函数 = f(x1)f(x2)f(x3)....f(xn)，如果总体有未知参数Θ，它的最大似然估计量= 使L取最大值的Θ（已知结果求原因）,此时自变量只有Θ，X1...Xn都是常数
离散样本的似然函数 = P(X1=x1,X2=x2...Xn=xn)
区间估计：根据样本估计总体参数所在的区间，不同的样本构造的区间不一定一样，该区间为置信区间，左端点=置信上限，右端点=置信下限
P(θ >θ_) >= 1-α 《=》（θ_ , +oo）是θ的单侧置信区间，置信度是1-α，θ_ 是单侧置信下限
置信区间(a,b)，显著性水平α，置信度=置信水平=1-α
《=》置信区间（a，b）包含真实值的概率是1-α
例题：方差已知，估计总体均值，总体正态分布，显著性水平为0.05
解：
结论：
方差已知，估计总体均值，总体正态分布，显著性水平为α，则：
总结（正态是前提）：
例题：
二项分布当n很大时，X趋于正态分布N(np,npq)
假设检验
对总体做个假设，然后根据样本看看要不要拒绝这个假设
通常在使用假设检验=显著性检验时，会将希望证明的结论或者新的事件作为备择假设（H1）。因为通过数据拒绝原假设可以有较强的说服力证明备择假设。
例题：
假设检验中的错误：
显著性检验是仅控制犯第一类错误的概率，犯第一类错误的概率为显著性水平α，样本容量固定时，任何一类错误概率减小，另一类必然增大；要想两者概率都降低，只能增大样本容量
单个正态总体下：
（算出统计量的取值，如果它在拒绝域，则拒绝H0，否则接受）
拒绝或者接受H0的另一个方法是P值，P值是概率，是概率函数曲线下的面积，是反对原假设的强度，p值越小，越能充分地拒绝H0
若H0的形式是=，则算出统计量的取值a后，想象曲线上横坐标的a，计算统计量在两边的面积就是 p
若H0的形式是<=，则算出统计量的取值a后，想象曲线上横坐标的a，计算 P(统计量>=a) 或者在a右边曲线下的面积= p
若H0的形式是>=，则算出统计量的取值a后，想象曲线上横坐标的a，计算 P(统计量<=a) 或者在a左边曲线下的面积= p
再给一个α，若α >= p ，则在显著性水平α下拒绝H0，α大于的越多，拒绝的把握性越大，小于则接受原假设。（注意P值得计算不依赖与α）
统计学假设数据是独立同分布的，假设空间包含了所有要尝试的模型
若有标签，则称监督学习，否则是非监督学习。
所有特征向量所在的空间：特征空间
约定：
样本点：输入和输出对
监督学习假定输入X和输出Y遵循概率分布；假设空间包含一堆模型；监督学习的模型满足P(Y|X)或Y= f (X)
f(AB) = f(A|B) f(B) = f(B|A) f(A)
贝叶斯统计学
贝叶斯统计学使用到了先验信息（之前的资料或者经验），认为未知参数θ不是常亮，而是随机的，先验分布为：θ~π(θ)，此时x和θ是有联合概率密度的 f (x，θ)
思想：利用先验分布，结合样本，求出后验分布，然后用后验分布来推断
π(θ) 就是θ的概率密度函数 ，H(θ)是它的分布函数，m(x) 是只有x的概率密度函数
后验分布H(θ|x)的概率密度函数是π(θ|x)
当B1,B2,B3瓦解了S（22不交，并集=S）：
无信息先验：若参数空间有限，则θ去每个值得概率是1/n；若参数空间是个区间，则服从均匀分布；若参数空间无界，则采用广义先验密度
下题中，π(θ|x)是以θ位变量的，所有分母不用算，根据正比形式看出是正态，直接写出答案
共轭先验分布簇中任意取一个分布，其后验分布还属于该簇
伽玛函数：
贝塔函数（P,Q>0）：
伽马分布X~Gamma(α,β)的密度函数、期望、方差：
贝塔分布定义在(0,1)
《=》
概率密度函数是：
贝塔分布期望值和方差分别是：
X~Be(1,1)=U(0,1)
感知器：y = f(w·x+b)，w是权重向量，x是输入向量，b是偏置，f是激活函数
设计一个感知器，让它来实现and运算。下面是它的真值表：
设计：令w1=0.5,w2=0.5,b=-0.8,而激活函数是阶跃函数：
输入真值表第一行，即x1=x2=0，则输出为：
即当x1=x2=0时，y=0，这是真值表的第一行。
傅里叶变换：
周期函数=无数个正弦波的叠加，不同频率的正弦波=频率分量
三角函数：周期T=2π/ω；角频率=ω；频率f= 1/T= ω/2π；wx+t：相位；t：初相位
p(t)=90+20sin(160πt），其中振幅A=20，最小正周期T=2π/(160π)=1/80，频率f=1/T=80
频谱=频域图像中，x轴是频率，y轴是该频率信号的幅度
电视频道：不同的频道就是将不同的频率作为一个通道来进行信息传输。
滤波：从某条曲线中去除一些特定的频率成分
相位差=时间差/周期*2π
