《线性代数的几何意义》笔记（1）

如何理解“线性代数”这四个字？

线性代数 = 线性 + 代数。

线性，是指线性代数这门学科研究的是线性问题。线性是理想化的，但是也是最基础的。实际工程中如果有非线性的问题，可以通过转化成线性问题来近似求解。

线性有两个特性：可加性与比例性。

其中，比例性要求函数必须是过原点的。过原点的意思是，输入为0时，输出也为0，这种情况下，称函数是齐次的；如果输入为0时，输出不为0，则称为非齐次，书中有证明，非齐次不满足比例性，即不是严格线性的。

代数，是指用符号来代替数，研究的对象不是具体的数，而是数之间的关系。衍生出来的研究对象有函数、方程。

函数和方程的区别是什么？

方程，是一种恒等关系。解方程的过程是，根据给定的约束关系，求出满足约束的解的集合。在图像上，方程就是坐标系中任意的曲线。方程没有自变量和因变量的概念。

函数，是方程的一个特例，它特殊在：它严格要求自变量到因变量的关系必须是一一映射。它在已知解的集合情况下，研究映射关系，这和方程是相反的。线性代数中的函数类型主要是n元一次函数，因为一次函数才天生具备线性特征。在图像上，函数是一个x值最多只能对应一个点的曲线。

行列式和矩阵的区别是什么？

行列式是一个数值，行列式是用来求方程组的解的。

矩阵不是一个数值，它是一组映射关系。通过对线性映射关系进行抽象，将与之无关的信息剔除，而得到的独立概念，这和计算机编程中的抽象极其相似，通过进一步研究，得出了很多矩阵的性质、法则。

关于对数学本质的初步理解

由上可以大致看出，数学研究的过程是，首先对问题中具有相同功能的信息进行抽取，建模（也就是抽象），之后提出相应的概念、创建用来描述相关对象的符号。通过进一步的研究，抽象出的新模型的很多特性会被发掘出来，这种模型可能会成为更新的模型的基础，长此以往会形成一个体系，进而形成一门学科。

所以，数学学科中会有很多概念和模型，每种概念和模型都是为了解决特定问题而提出的，我们在学习的时候，一定要弄明白模型是为了解决什么问题而提出的（怎么搞明白是一个难题，在灌输式的教育下，很少有人能搞明白，所以更多的还是需要自己去查更好的资料，去思考）。在此基础上，我们还可以进一步培养自己的抽象能力，将问题中具有共性的、起关键作用的对象独立出来研究，建立模型，从而弄清楚问题的结构，从而最终解决问题。